Martin Gardner en su libro Nuevos pasatiempos matemáticos propuso un problema de planteamiento sencillo y de resultado sorprendente a primera vista. Al final propone una sencilla que en principio tiene más que ver con el sentido común que con razonamientos matemáticos sobre funciones continuas. No obstante, aquí daré la solución sencilla al final, porque el problema da pie profundizar en el concepto de continuidad de funciones y a visualizar algunos teoremas sobre ellas como el teorema de Bolzano o la propiedad de Darboux. Gardner formula el problema así:
Un monje budista salió de su templo a las seis de la mañana siguiendo una vereda hacia la cumbre de una montaña en la que se encontraba un monasterio. Su marcha no era uniforme, en unos lugares se detenía a contemplar el paisaje y en otros tramos del camino aceleraba el paso. Llegó a la cima a las seis de la tarde y pasó la noche en el monasterio. A las seis de la mañana del día siguiente inició el descenso hacia el templo por la misma vereda por la que había subido. En un punto del camino reconoció un árbol centenario que había visto cuando subía hacia el monasterio, observó su sombra y dedujo que, en el ascenso, había pasado por ese mismo lugar a la misma hora.
Nos preguntamos; ¿Es posible que en el descenso hubiera pasado por el mismo punto del camino exactamente a la misma hora que el día anterior en el ascenso a la montaña? (Debemos tener en cuenta, además, que el ascenso era más duro que la bajada y que empleó menos tiempo en bajar del monasterio que en llegar hasta él).
Al principio la observación le pareció al monje pura coincidencia, pero, tras un rato de reflexión, llegó a la conclusión, de que, inevitablemente, llevara el paso que llevara, tenía que existir un punto del camino (no precisamente el árbol) por el que debía pasar a la misma hora en el ascenso y en el descenso, aunque su marcha tuviera paradas arbitrarias y velocidades variables..
Comenzaremos exponiendo el razonamiento matemático basado en la continuidad de las funciones, representadas en un diagrama Espacio-Tiempo como los que se utilizan en Física.
Un diagrama Espacio-Tiempo es una gráfica que se obtiene representando el tiempo en eje OX y la distancia recorrida en el eje OY, de modo que la abscisa de cada punto (t, d) del diagrama nos indica el tiempo t transcurrido desde la salida y la ordenada d la distancia recorrida en ese tiempo.
Si la distancia del templo al monasterio por la vereda era D, el tiempo del ascenso es T (en este caso 12 horas) tiempo de bajada será T´.
En la figura siguiente se representan tres diagramas espacio-temporales el primero de subida, el segundo de bajada y el tercero es una superposición de los dos que sugiere y anuncia la solución verbal, clara e intuitiva de Martin Gardner
Espacio-Tiempo
En el diagrama espacio-tiempo de la izquierda de la figura la función de subida es la función continua y = f(t), que cumple:
f(0) = 0 y f(T) = D
En el diagrama central y la función de descenso es la función continua y = g(t), que cumple:
g(0) = D y g(T’ )= 0
Superponiendo ambas gráficas es claro que se deben cortar en un punto (t0, d0), es decir, que pasado un tiempo, t0, a partir de las seis de la mañana han estado a una distancia d0 del templo del monje tanto a la subida como a la bajada.
De una forma más analítica podemos aplicar el Teorema de Bolzano a la función y = G(t) diferencia de las funciones continuas y = f(t) e y = g(t) en el intervalo [0, T’]
La función continua G(t) = f(t) – g(t), verifica que G(0) = – D G(T’) > 0
Por el teorema de Bolzano (como la función continua toma valores de signos opuestos en los extremos del intervalo [0, T’]) existe un t0 en el intervalo (0, T’) al que
G(t0) = 0 ⇒ f(t0) – g(t0) = 0 ⇒ f(t0) = g(t0)
En ambos se cumple que f(t0) = g(t0) = d0 , luego, tanto en el ascenso como en el descenso ha estado el monje a misma distancia del templo por la vereda.
La solución que da Martin Gardner es: Imaginemos que hubiera dos monjes que salen a las seis de la mañana uno desde el templo y otro desde el monasterio y ambos van por la misma vereda. En algún punto del camino se encontrarán. Ese punto es el mismo para para los dos y es la misma hora para ambos.
