En las aritméticas tradicionales aparecen varios tipos problemas de aritmética con nombre propios. En libros muy separados en el tiempo como Lecciones de Aritmética (1902) y Aritmética razonada y nociones de álgebra tratado teórico-práctico demostrado con aplicación a las diferentes cuestiones mercantiles para uso de las escuelas normales y de las de comercio con una introducción al algebra elemental (1972) de José Dalmau Carles aparecen problemas de Aritmética clasificados: de regla de tres directa e inversa, de mezclas, de aleaciones de interés, de repartos proporcionales, de móviles, de relojes, de grifos, de herencias, etc. Todos estos problemas han sido reunificados en las aritméticas más recientes bajo el título de proporcionalidad. Igual en los libros de Ejercicios y problemas de aritmética (1940). de Manuel García Ardura o Tratado de Aritmética Elemental (1958) de ediciones Bruño.
Estos tipos de problemas que aparecen en las aritméticas más antiguas, por ejemplo, problemas se repartos y herencias sirven para reforzar y profundizar en la idea de proporcionalidad.
Pero sobre nos señalan un cambio en la orientación pedagógica. En las aritméticas antiguas el aprendizaje tenía un carácter más inductivo, de los ejemplos aritméticos se llegaba a la idea de proporcionalidad. Esos problemas eran los escalones para alcanzar esa idea. Mientras que en las aritméticas actuales, en muchos casos, son simples ejemplos ilustrativos del abstracto de proporcionalidad que se explica al principio del tema. Y, en ocasiones, esos problemas se plantean como un acaso particular de la función lineal. En las tablillas babilónicas parecen problemas como el siguiente:
Problema 1.- Un anciano dejó al morir 65 monedas de oro, que debían repartirse entre sus 5 hijos de modo
Solución: Que cada uno recibiera 3 monedas menos que el hermano que le antecede significa que, recibirán:
(x-6), (x-3), x, (x+3), (x+6)
respectivamente y que su suma debe ser 65, es decir:
(x-6) + (x-3) + x + (x+3) + (x+6) = 65
x = 13, por tanto, por lo tanto, los hermanos recibirán: 7, 10, 13.16, 19 monedas de oro respectivamente.
Problema 2.- Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos?
Solución: El más joven recibirá x coronas, el segundo x +100, y el primogénito x + 300 y su suma debe ser 1600, es decir:
x + (x +100) + (x +300) =1600 ⇒ 3x = 1200 ⇒ x = 400, 500 y 700
los hermanos recibirán: 400, 500 y 700 coronas respectivamente
Un problema algo más complicado es :
Problema 3.- Un padre murió dejando cuatro hijos. Estos se repartieron sus bienes de la manera siguiente:
El primero cogió la mitad de la fortuna, menos 3000 libras.
El segundo cogió un tercio de ella, menos 1000 libras.
El tercero cogió exactamente un cuarto de los bienes.
El cuarto cogió 600 libras, más la quinta parte de los bienes.
¿Cuál era la fortuna total, y qué cantidad recibió cada uno de los hijos?
Solución: Sea x libras la fortuna del padre:
El primero recibirá x/2 – 3000,El segundo recibió x/3 – 1000
El tercero recibió x/4
El cuarto x/5 + 600
La suma será
x/2 – 3000 + x/3 – 1000 + x/4 + x/5 + 600 = x ⇒
⇒ 17/60 x = 3400 ⇒ x = 12000
Luego la fortuna del padre era de 12.000 libras. Los hijos recibirán: 3000, libras cada uno.
Problema 4.- Un padre murió dejando varios hijos. Estos se repartieron sus bienes de la manera siguiente:
El primero recibió 100 coronas y la décima parte de lo que quedaba.
El segundo recibió 200 coronas y la décima parte de lo que quedaba.
El tercero recibió 300 coronas y la décima parte de lo que quedaba.
El cuarto recibió 400 coronas y la décima parte de lo que quedaba, etc.
Al final del reparto descubrieron que la fortuna había sido dividida en partes iguales entre los hijos. Se pregunta a cuánto ascendía esa fortuna, cuántos hijos tenía y cuánto recibió cada uno de ellos (citado por Polya).
Solución: Si la herencia es de C coronas:
El primero recibió: 100 + (C-100)/10
El segundo recibió: 200 + 1/10[ (C-100) – (C-100)/10 – 200]
Como todos los hijos han recibido lo mismo
100 + (C-100)/10 = 200 + 1/10[ (C-100) – (C-100)/10 – 200] ⇒
⇒ (C-100)/10 = 100 + 1/10[(9(C-100)/10 – 200] ⇒
⇒ (C-100) = 1000+ 9(C-100)/10 – 200] ⇒
⇒ (C-100)/10 = 800 ⇒ C = 8.100
La herencia es de 8100 coronas, son 9 hijos que recibieron 900 coronas cada uno.
El mismo problema con otra redacción
Problema 5.- Un padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor recibiría 100.000 libras más la quinta parte del resto. El siguiente 200.000 libras. más la quinta parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100.000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Al final todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno?
Solución: Siendo C el importe total de la herencia.
El primero recibió: 100.000 + (C-100.000)/5
El segundo recibió: 200.000 + 1/5[(C-100.000) – (C-100.000)/5 – 200.000]
Igualando lo recibido por cada uno se obtiene:
(C-100.000)/5 = 100.000 + C/5 – 60.000 – (C – 100.000)/25
=> C = 1.600.000 ptas.
Luego cada uno de los cuatro hijos heredará 400.000 ptas.
