La relación de las Matemáticas y la Física no ha sido siempre como la vemos la actualidad. Aristóteles (384-322 a.C.) estudió el mundo físico con unos principios puramente cualitativos y las teorías físicas las elaboró a partir de las cuatro causas (material, formal, eficiente y final); con ellas daba una explicación de los fenómenos naturales. La física aristotélica trataba de buscar la esencia de las cosas, pero sus teorías no eran predictivas, es decir, no eran capaces de predecir la aparición de un suceso observable, cosa que sí haría la física a partir de Galileo (1564-1642).
A partir de Galileo se pensaba que la naturaleza era un libro escrito en lenguaje matemático y que el hombre debía saber matemáticas para poder leer en ese libro para conocer su funcionamiento. Evidentemente, ese es un cambio de planteamiento radical, pero en filosofía siempre que se supera algo es porque algo se ha hundido o ha cambiado profundamente. Y este fue el caso, aunque no sea el tema que trataré en este trabajo: el cambio profundo era las preguntas que los físicos se hacían sobre la naturaleza; Aristóteles se preguntaba por la esencia de las cosas, esto es, buscaba por qué las cosas, mediante la investigación de las causas, mientras que la física, a partir de Galileo, expresaba el comportamiento de la naturaleza en ecuaciones, en las que en la mayoría de ellas aparecía el tiempo y respondía a la cuestión de cómo se comportaban las cosas.
En otros trabajos trataré de describir con más detalle la consideración y el uso que han tenido las matemáticas en el estudio de la naturaleza y, más concretamente, en el de la física. A continuación, realizaré un pequeño esbozo de esta relación entre estas disciplinas que han estado hermanadas y entrelazadas durante siglos.
Para Platón los objetos matemáticos (arquetipos) existían en el mundo de las ideas, que era un mundo exterior, separado del mundo de la naturaleza y que existía con anterioridad a la ordenación del universo. Una elipse o el teorema de Pitágoras tenían tanta existencia en el mundo de las ideas como la que tenían una piedra o una flor en el mundo material. Tomando como modelo el perfecto mundo de las ideas Demiurgo organizó el mundo material. Por lo tanto, el conocimiento matemático, que estaba en el mundo de las ideas, era modelo y actuaba como una especie de causa final del conocimiento de las cosas.
Sin embargo, para Aristóteles las matemáticas y la física eran dos disciplinas diferentes porque tenían objetos de estudio distintos. La física era una ciencia teorética que se ocupaba de las cosas sensibles, mientras que las matemáticas pertenecían a otro nivel y analizaban otra cota de la realidad que trataba de la esencia de las cosas. Aristóteles no consideraba a las matemáticas como una disciplina adecuada para el estudio de los fenómenos naturales y criticó el uso exagerado de la numerología pitagórica y platónica, que se perdía en explicaciones oscuras y adivinatorias.
Aristóteles reconocía y apreciaba la belleza de la geometría del triángulo y de todas las matemáticas en general, pero no aceptaba que los números y las figuras geométricas formaran parte de la esencia de las cosas y de los seres vivos. Estas consideraciones hacen comprender por qué Aristóteles opinaba que ambas disciplinas no debían ser mezcladas, ya que lo que estudiaba cada una de ellas tenía naturaleza distinta, y por qué, a la hora de hacer física, no debían aplicarse métodos propios de las matemáticas, ya que, aunque las cosas sensibles tenían propiedades cuantificables, como eran todas propiedades las relativas a su magnitud (tamaño, peso), no todas ellas eran reducibles a números, ya que muchas propiedades eran esencialmente cualitativas. El pensamiento de Aristóteles era, por tanto, contrario a todo intento de incluir y reducir la inmensa complejidad de lo real a una estructura numérica. Y lo sintetizaba así:
… no ha de exigirse el rigor matemático al tratar todas las cosas, sino al tratar de aquellas que no tienen materia Por eso el método matemático no es propio de la física. Pues seguramente toda naturaleza tiene materia. Por tanto, ha de examinarse primero que es la naturaleza (Met. II 3, 995a15)
Galileo Galilei, en clara oposición a Aristóteles afirmaba que la naturaleza evolucionaba de tal forma que sus cambios se podían describir mediante el lenguaje matemático con estas palabras tan conocidas:
“La filosofía está escrita en ese libro enorme que tenemos continuamente abierto delante de nuestros ojos (hablo del universo), pero que no puede entenderse si no aprendemos primero a comprender la lengua y a conocer los caracteres con que se ha escrito. Está escrito en lengua matemática, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin los cuales es humanamente imposible entender una palabra; sin ellos se deambula en vano por un laberinto oscuro” [El Ensayador]
La relación entre las matemáticas y la física desde el nacimiento de la Ciencia Moderna hasta nuestros días ha sufrido variaciones y, son precisamente los vaivenes de esta relación, desde el siglo XVII hasta el siglo XX, las que vamos a tratar de describir.
En el siglo XVII el cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales eran las herramientas matemáticas con las que se describían el movimiento de los astros, la mecánica de los cuerpos, la difusión del calor o los armónicos que acompañaban a una cuerda vibrante. En esta primera etapa, los resultados del cálculo diferencial y de las ecuaciones diferenciales encontraban respaldo de la física porque coincidían con los resultados experimentales y en ellos encontraban las matemáticas su validez y justificación lógica. Las matemáticas proporcionaban unos modelos del comportamiento físico y aportaban unas predicciones precisas y ajustadas a la realidad como lo demuestran los éxitos de la mecánica newtoniana.
No obstante, y, a pesar de los éxitos predictivos de las matemáticas en el estudio de los fenómenos físicos, pronto aparecieron criticas al rigor lógico del cálculo infinitesimal y de sus fundamentos. En el siglo XVIII hubo críticas como la del filósofo G. Berkeley (1685-1753) que calaron entre lógicos y matemáticos y, aun reconociendo el valor predictivo de las teorías matemáticas en el estudio de cuestiones de la física, trataron de solucionar las incoherencias lógicas desde las propias matemáticas.
La búsqueda del rigor en los métodos matemáticos, hizo que la matemática dejara de justificar la validez de sus resultados por su correspondencia y concordancia con los resultados experimentales y buscó su fundamentación en el rigor lógico de sus argumentos deductivos. En muchos casos optó por la presentación axiomática deductiva. Esta nueva situación hizo que las matemáticas se alejaran aparentemente de la realidad y se movieran en un escenario abierto de plena libertad creativa que propició la aparición de nuevas ramas.
Pensemos en un matemático del siglo XIX trabajando en el análisis de la extensión de las operaciones a las sucesivas ampliaciones numéricas o en la falta de orden de los números complejos, en la suma de series infinitas, o, en general, tratando de estudiar la extensión de los métodos del álgebra a la suma de series y al cálculo infinitesimal, que venían provocando críticas, por su falta de rigor lógico, desde los comienzos del siglo XVIII. Esta situación fue el caldo de cultivo para que aparecieron una serie de matemáticos que buscaban el rigor en sus razonamientos y trataban de poner orden en las matemáticas que se aplicaban a la mecánica y a la física en general. Este proceso de independizar las matemáticas de la física acabaría dando lugar a la aparición de nuevas disciplinas matemáticas independientes de la física y haciendo que las matemáticas fueran una ciencia autónoma, independiente.
Entre los matemáticos que abordaron la tarea de rigor figuran: B. Bolzano (1781–1848), K. F. Gauss (1777-1855), A. Cauchy (1789-1857), C. Jacobi (1804-1851), N. Abel (1802-1829), B. Riemann (1826-1866) y K. Weiersstrass (1815-1897).
A grandes rasgos podemos decir que, desde mediados del siglo XIX, se produjo el cambio de unas matemáticas elaboradas a medida de la física para describir los fenómenos naturales a otras matemáticas que se planteaba sus propios problemas y abordaba sus generalizaciones particulares, analizaba la validez de sus resultados, su estructura interna e incluso sus inconsistencias lógicas de forma autónoma sin referencias al mundo real.
Las matemáticas, desde mediados del siglo XIX, evolucionaron muchísimo. Aparecieron tantas ramas nuevas, tantas que era imposible recogerlas en los planes de estudio, las matemáticas puras se planteaban cuestiones que habían aparecido en su propio desarrollo abstracto con independencia de los problemas físicos.
Pero a los físicos teóricos se les presentó un duda sobre la formación matemática que debían adquirir en su formación. Una vez segregadas las matemáticas de la Física, nos podemos preguntar. ¿Tenían los físicos que seguir estudiando las matemáticas, imperfectas desde el punto de vista lógico, pero que tan buenos resultados habían logrado? ¿Esas nuevas matemáticas, cocinadas sin referencia al mundo físico, iban resultar ser elucubraciones abstractas con escasas o nulas aplicaciones a las ciencias? ¿Serían, las nuevas matemáticas simplemente, invenciones y divagaciones abstractas cercanas a la metodología y a la lógica?
En esta encrucijada se encontró A. Einstein cuando tuvo que recurrir a las matemáticas para escribir su teoría de la Relatividad General, entonces se dio cuenta que, con las matemáticas tradicionales basadas en la Geometría de Euclides, no era posible expresar sus ideas sobre la gravitación ya que en el universo relativista la velocidad de la luz en el vacío era constante.
El problema de Einstein era que tenía que inventar unas matemáticas o aprovechar otras ya elaboradas; el propio Einstein expresaba el dilema matemático con estas palabras:
Veía que las matemáticas estaban parceladas en numerosas especialidades y cada una de ellas por sí sola podía absorber el breve lapso de vida que se nos concede. En consecuencia, yo me veía como el asno de Buridan, que era incapaz de decidirse entre dos gavillas de heno. Presumiblemente esto se debía a que mi intuición en el campo de las matemáticas no era lo bastante fuerte como para diferenciar claramente lo que era básico… Además, mi interés por el estudio de la naturaleza era sin duda más fuerte; y en mi época de estudiante no tenía aún claro que el acceso a un conocimiento profundo de los principios básicos de la física depende de los métodos matemáticos más intrincados. Sólo poco a poco fui entendiendo esto, tras años de trabajo científico independiente. (Cfr: Manuel de León. Real Academia de Ciencias https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/las-matematicas-y-albert-einstein/
Felizmente fue capaz de expresar la fórmula que culminaba su relatividad general utilizando el cálculo tensorial, una rama de las matemáticas puras, creada sin referencias a la física tradicional. El premio Nobel de Física de 1963, E. Wigner (1902-1995), destacaba con asombro el hecho de que unas matemáticas creadas libremente por la mente de los matemáticos se pudieran adaptar tan estrechamente a la descripción de fenómenos físicos en una frase que, además, subrayaba el problema de elegir las ramas del árbol de las matemáticas que un físico debe aprender a lo largo de su formación como tal para acercarse al estudio del mundo físico:
El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que ni entendemos ni merecemos…La Física se está volviendo tan increíblemente compleja que lleva cada vez más tiempo preparar a un físico.
Víctor Arenzana Hernández
