El matemático árabe Ahmad al-Buni (¿-1225) trabajó en los cuadrados mágicos alrededor deL año 1200 y les atribuía propiedades mágicas enraizadas con la tradición pitagórica.
Los cuadrados mágicos aparecieron hace más de cuatro mil años, de hecho, se han descubierto cuadrados mágicos en diferentes culturas, por ejemplo, en Egipto y la India, algunos de ellos, grabados en piedra o metal, se han llevado como talismanes, ya que se creía que los cuadrados mágicos tenían cualidades terapeuticas y adivinatorias y su uso aseguraba la longevidad y la prevención de enfermedades.
En 1300, basándose en los trabajos de Al-Buni, el erudito griego bizantino M. Moschopoulos (1265-1316) escribió un tratado sobre el tema de los cuadrados mágicos, dejando de lado el misticismo pitagórico de sus predecesores. Se cree que Moschopoulos fue el primer occidental que escribió sobre el tema. Hacia 1450 el matemático italiano Luca Pacioli estudió cuadrados mágicos y recogió muchos ejemplos.
En el grabado de Alberto Durero (1471-1528) Melancolía se recoge un cuadrado mágico de orden cuatro, formado con los números naturales del 1 al 16. Presenta unas características tan curiosas como las siguientes.
La suma de los números colocados en sus filas, sus columnas, y sus diagonales es 34. Igualmente, la suma de los números colocados en sus cuatro cuadrantes es también 34.
Los números del cuadrado central suman 34. Los números cuatro números de las esquinas también.
Los dos conjuntos de cuatro números simétricos, suma de las diagonales de los cuadrados de las esquinas (2 + 8 + 9 + 15) y )3 y 5 + 12 + 14) y la suma de las dos números centrales de las dos columnas y filas exteriores, por ejemplo. 3 + 2+ 15 +14 ) y (5, 9, 8, 12) también suman 34. Finalmente. Ademas, los dos números centrales de la fila inferior son la fecha de ompresión del grabado: 1514.
Un cuadrado mágico de orden n es un conjunto de nxn números dispuestos en n filas y n columnas, de forma que la suma de los números de cada una de las filas, de los números de cada una de las columnas y los de las dos diagonales es siempre la misma. A esta suma se le llama constante mágica.
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN 3
Partiremos del cuadrado mágico básico, formado por los números 1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7, 8 y 9. Un conjunto de 9 números forman un cuadrado mágico si se pueden colocar en un cuadrado de nueve casillas de forma que las tres filas, las tres columnas y sus dos columnas sumen lo mismo. A ese número se le llama constante mágica.
PROPIEDADES
Primera: La constante mágica del cuadrado mágico básico es 15. Ya que la suma de
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 es
Y, como hay tres filas y cada fila debe sumar lo mismo, cada fila debe sumar 15. Y lo mismo se puede decir de las columnas.
Segunda.- El 5 ocupa centro del cuadrado a+b+c+d+e+f+g+h+i=15
Como la constante mágica es 15:
a+i = 15 – e b+h = 15 – e c+g = 15 – e f+d = 15 – e
Sumando las cuatro ecuaciones :
a+b+c+d+f+g+h+i = 60 – 4e
a+b+c+d+e+f+g+h+i = 60 – 3e ⇒ 45 = 60 -3e ⇒ e = 5.
Tercera: Los números impares no pueden ocupar las esquinas del cuadrado
Como el 5 tiene que ocupar el centro del cuadrado, supongamos que el 1 ocupa una esquina. Se debe cumplir que A+B = C+D = 14
Caben las siguientes posibilidades:
A = 7 y B =7 no puede ser porque se repite el 7
A= 8 y B =6 en ese caso necesariamente C = 9 y D =5 (se repetiria el 5) o C = 8 y D =6 repetidos
Cuarta: Generalización con tres números a, b, y c se puede formar el cuadrado mágico
Con a = 6 , b =2 y c = 3 se forma el cuadrado mágico
Quinta: La regla del Salto del caballo: El número del vértice es es igual a la semisuma de los los números de salto del caballo. 9 = (7+11)/2, 8 = (11+5)/2, …
