La matemática francesa Sophie Germain (1776-1831) se dedicó a las matemáticas y brilló en ese campo a pesar de las dificultades sociales que tenía una mujer del siglo XVIII para acceder al estudio de las ciencias. Se distinguió en dos campos: la Teoría de Números y la Teoría de la Elasticidad.
Estuvo contacto con destacados matemáticos franceses como J.L. Lagrange (1736- 1813), A. L. Legendre (1752-1833) o J. Fourier (1768-1830) y mantuvo correspondencia epistolar con C.F. Gauss (1777-1855). Durante mucho tiempo firmó sus investigaciones con el nombre de Antoine-Auguste Le Blanc para no tener problemas por ser una mujer, pero al final, unas investigaciones sobre Teoría de la Elasticidad y, con su propio nombre, Memoria sobre la vibraciones de las superficie elásticas ganó, el Concurso de la Academia de las Ciencias en 1816. Que es lo que dio pie para proponer el siguiente problema.
PROBLEMA 1: Sophie Germaine decide guardó el dinero del premio de la Academia de las Ciencias en siete cofres. Empezó guardando 2/3 del total en el primer cofre; en el segundo cofre guardó 2/3 del resto y así sucesivamente hasta el séptimo cofre. Hecho esto, descubrió que le sobraba un franco, que lo guardó ¿A cuántos francos ascendía el premio?
Respuesta: Procederemos por el último cofre y seguiremos en orden descendente con los demás. Calcularemos cuanto dinero tenía antes de cada cofre.
Séptimo cofre: Le sobró un franco, metió 2 francos en el cofre ⇒ tenía 3 fr.
Sexto cofre: Le sobraron 3 francos, metió 6 francos en el cofre ⇒ tenía 9 = 32 fr.
Quinto cofre : Le sobraron 9 francos, metió 18 francos en el cofre ⇒ tenía 27 = 33 fr.
Cuarto cofre : Le sobraron 27 francos, metió 54 francos en el cofre ⇒ tenía 81 = 34 fr.
Tercer cofre : Le sobraron 81 francos, metió 162 francos en el cofre ⇒ tenía 242 = 35 fr.
Segundo cofre : Le sobraron 242 francos, metió 484 francos en el cofre ⇒ tenía 726 = 36 fr.
Primer cofre: Le sobraron 726 francos, metió 1452 francos en el cofre ⇒ tenía 2178 = 37 fr.
PROBLEMA 2:Demuestra que si al producto de los números anterior y posterior a cualquier múltiplo de 6 le sumamos 1, el resultado es múltiplo de 36.
Solución: los números anterior y posterior a un múltiplo de 6 serán a= 6n-1 y b= 6n+1.
a·b +1 = (6n-1) (6n+1)+1 = 36n2 – 1 + 1 = 36n2 .
PROBLEMA 3: Un año tiene 53 domingos ¿Es posible que el 8 de marzo sea viernes?
Solución: Si el año es común (de 365 días) tendrá 52 semanas y un día (365 = 52·7 +1). En 52 semanas, con 360 dias consecutivos, hay cincuenta y dos lunes, cincuenta y dos martes, cincuenta y dos miércoles … y cincuenta y dos domingos. El día sobrante tienen que ser domingo porque ese año tiene 53 domingos. El año puede empezar en cualquier día de la semana, este año tiene 53 domingos y, necesariamente debe acabar y empezar en domingo. Si el uno de enero fue domingo, el 8 de marzo será miércoles (habrán pasado 30 + 28 +8 días).
Si el año es bisiesto (de 366 días) tendrá 52 semana y dos días. Entonces hay dos posibilidades
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- Si el uno de enero es domingo el 8 de marzo es jueves (febrero tiene 29 dias)
- Si el uno de enero es sábado y el 8 de marzo es miércoles
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PROBLEMA 4: Demuestra la Identidad de Sophie Germain:
a4 + 4·b4= (a2 + 2·b2 + 2·a·b) (a2 + 2·b2 – 2·a·b)
Demostración: ( Recordar la identidad del cuadrado de un binomio y la de la diferencia de cuadrados): Completando cuadrados:
a4 + 4·b4 = (a2 + 2·b2)2 – 4·a2·b2 = (a2 + 2·b2 + 2·a·b) (a2 + 2·b2 – 2·a·b) =
PROBLEMA 5: Factorizar (54 + 4·34)
Solución: 54 + 4·34 = (52 + 2·32)2 – 4·52·32 = (52 + 2·32 + 2·5·3) (52 + 2·32 – 2·5·3) = 73·13
PROBLEMA 5: Factorizar (114 + 4·34)
UNA CURIOSIDAD: Los números primos de Sophia Germain. Intentando demostrar del último teorema de Fermat Sophia Germain. Definió los que se llaman actualmente números primos de Sophia Germain :
Definición: Un número primo p es un primo de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo.
Al número 2p + 1, asociado con un número primo de Sophie Germain se denomina número primo seguro. Por ejemplo, 23 es un primo de Sophie Germain y 2 × 23 + 1 = 47 es un primo seguro. (también 23 es un número primo seguro, ya que 2·11 + 1 es primo y 11 y 5 también lo son.
Observación: Hay números primos que no son primos de Sophie Germain como 7,el 13, el 17, el 19, y otros más. Y aun así, se ha conjeturado que la sucesión de los números primos de Sophie Germain es infinita.
