Contar las cifras de sucesiones de números ha sido una cuestión que se ha planteado muchas veces en los ejercicios de aritmética elemental. Aquí se exponen dos ejercicios que aparecen en los Exercices d’Arithmétique (1914) de J. Fitz-Patrick. Los problemas no dejan de ser curiosos, pero los expongo, porque una vez vi en un ejercicio escrito en el que se formulaba la pregunta: ¿cuantas cifras son necesarias para escribir los números de 1 a 1000? A la que un estudiante avispado había respondido diez. La respuesta era cierta, pero en los ejercicios que siguen, y era la intención de Fitz- Patrick, se hace la pregunta con la intención de que se cuenten también las cifras repetidas.
Problema 1.- ¿cuántos números diferentes de n cifras hay en nuestro sistema de numeración? ¿Cuántas cifras son necesarias para escribirlos todos?
Respuesta: Números de dos cifras van de 10 a 99, ambos inclusive por lo tanto hay 90 números de dos cifras. El nº de cifras para escribirlos todos serán 2· 90 = 180
Números de tres cifras tres cifras van de 100 a 999, por lo tanto hay 900. El nº de cifras para escribirlos todos serán 3· 900 = 2700
De forma general:
Habrá 10n – 10n-1 = 10n-1 (10 – 1) = 9· 10n-1 números de n cifras.
Y el número de cifras que hacen falta para escribirlos será n·9·10n-1
Problemas 2 ¿cuántos números diferentes tienen un número de no más de n cifras y cuantas cifras son necesarias para escribirlos todos?
Respuesta: Los números de no más de n cifras serán:
Números de una cifra 10 – 1
Números de dos cifras 102 – 10
Números de tres cifras 103 – 102
……
Números de n cifras 10n – 10n-1
En total: (10 – 1) + (102 – 10) + (103 – 102) + ···· + (10n – 10n-1) = 10n – 1
Que es un número que se escribe con n nueves: 999 …– n –…999
El número de cifras necesarias para escribir todos los números de al menos n cifras serán
(10 – 1) + 2(102 – 10) + 3(103 – 102) + ····+ n(10n – 10n-1) =
= – 1 – 10 – 102 – ··· – 10n-1 + n·10n = n·10n – 111…-n-… 111
Este número a la izquierda el número n – 1, tiene como cifra de las unidades el 9 y el resto de las cifras centrales son 8
