Problema 1. ¿Cuántos pares (x, y) de números enteros satisfacen la ecuación x2 · y3 = 612?
Solución.
Como 612 = 212 · 312 se tiene que x tiene la forma x = 2p · 3q e y tiene la forma y = 2r · 3s, luego: 612 = x2 · y3 = (2p · 3q)2 · (2r · 3s)3 = 22p+3r · 32q+3s
Por lo tanto 212 · 312 = 2 2p+3r · 3 2q+3s ⇒
⇒ 2p + 3r = 12 y 2q + 3s = 12, luego:
De este modo se tienen 9 soluciones :
x = 23 · 32, y = 23 · 32, x = 23 · 32, y = 20· 34 x = 23 · 32, y = 26· 30
x = 20· 34, y = 23 · 32 x = 20· 34, y = 20· 34 x = 20· 34, y = 26· 30
x = 26· 30, y = 23 · 32 x = 26· 30, y = 20· 34 x = 26· 30, y = 26· 30
Problema 2. ¿Cuántos pares (x, y) de enteros tales que x ≤ y existen de manera que su producto sea 5 veces la suma de ambos?
Solución. Para (x, y) tenemos la siguiente condición:
xy = 5(x + y) ⇒ xy − 5x − 5y = 0 ⇒
⇒ x(y − 5) − 5(y − 5) − 25 = 0 ⇒ (y − 5)(x − 5) = 25
Luego, analizando las posibilidades
Si y − 5 = 5 y x − 5 = 5 entonces y = 10 y x = 10. Sol (10, 10)
Si y − 5 = −5 y x − 5 = −5 entonces y = 0 y x = 0. Sol (0,0)
Si y − 5 = 1 y x − 5 = 25 entonces y = 6 y x = 30 , no es solución ya que x > y.
Si y − 5 = −1 y x − 5 = −25 entonces y = 4 y x = −20. Sol (-20, 4)
Si y − 5 = 25 y x − 5 = 1 entonces y = 30 y x = 6. Sol (6, 30)
SI y − 5 = −25 y x − 5 = −1 entonces y = −20 y x = 4, no es solución ya que 4 >-20
Por lo tanto, hay cuatro pares que cumplen la condición, que son
(10, 10), (0,0), (-20, 4), (6, 30)
Problema 3. Una urna contiene bolas de cinco colores diferentes. Dos son rojas, tres azules, diez blancas, cuatro son verdes y tres son negras. ¿Cuál es el número más pequeño de bolas que se debería sacar de la urna para asegurarse de sacar, al menos, dos bolas del mismo color?¿y para sacar tres del mismo color?
Solución. Como la urna contiene bolas de cinco colores distintos, lo peor que puede ocurrir al sacar 5 es que todas salgan de distinto color (azul, blanca, verde, negra y roja), por lo que debemos sacar 6 bolitas, de este modo nos aseguramos que. se repita una. Por lo tanto, para poder estar seguro de tener dos bolas de un mismo color, es necesario sacar 6 bolas.
Para sacar tres del mismo color 11 bolas
Problema 4. Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999. Dos cartas cualesquiera tienen números diferentes. Francisco toma algunas cartas y saca la suma de los dígitos de cada una. ¿Cuántas cartas debe tomar para asegurarse de tener tres cartas cuya suma sea la misma?
Solución. Las posibles sumas de los dígitos de números entre 100 y 999, van de 1 al 27, pues entre 100 y 999 el número cuyas cifras tienen suma menor suma es 100, donde 1 + 0 + 0 = 1, y el número cuya suma de sus cifras es mayor es el 999, donde 9 + 9 + 9 = 27.
Además, 100 es el único número cuya suma de sus dígitos es 1 y 999 es el único número cuya suma de sus dígitos es 27.
De este modo, si tomamos 27 cartas de la caja, en el peor de los casos podríamos tener 27 sumas distintas y, además entre esas cartas estarían el 100 y el 999 que eran las únicas cuyas sumas de sus dígitos eran 1 y 27 respectivamente. Tenemos en la mano 25 cartas cuya suma de sus dígitos es 2,3,….26. También las cartas que quedan en la caja suman de 2,3,…,26.
Luego tomamos solo 25 cartas de la caja: Si dos de ellas tienen sumas iguales ya tenemos tres cartas, al menos, con la misma suma de sus cifras en la mano. Pero si las 25 cartas tienen suma de sus cifras distintas, entonces tendremos 25 parejas con la misma suma
Ahora resta sacar una carta más y la suma de sus dígitos coincidirá con alguna de las dos sumas anteriores. Como hemos extraído 27 cartas la primera vez, 25 cartas la segunda vez y por último 1 carta, en total serán 53 cartas las que nos aseguran tener 3 cartas cuya suma de sus cifras sean iguales.
Problema 5. Un vehículo partió del punto A y anduvo por un camino recto a una velocidad de 50km/h. Luego, a cada hora siguiente un nuevo vehículo parte del punto A a una velocidad 1 km/h más rápida que el anterior. El último vehículo (a una velocidad de 100 km/h) partió 50 horas después del primero. ¿Cuál es la velocidad del vehículo que va primero en la caravana 100 horas después de que partió el primero?.
Solución. El primer vehículo recorre en 100 horas a 50 km/h recorre 5000 km. El segundo vehículo como sale 1 hora más tarde que el primero y va a 51 km/h recorre 51 · 99 km. El segundo vehículo como sale 1 hora más tarde que el segundo y va a 52 km/h recorre 52 · 98 km, y así sucesivamente.
Luego el problema consiste en conocer que producto es mayor:
50 · 100, 51 · 99, 52 · 98, 53 · 97, … , 98 · 52, 99 · 51, 100 · 50
Son productos de la forma (50+x)·(100-x), x varía de 0 a 50. Después de algunos cálculos se observa que el producto crece desde x = 0 hasta x = 25, hasta ser 75 · 75 = 5625. Por lo tanto, el vehículo que encabeza la caravana 100 horas después de que partió el primero lleva una velocidad de 75 km/h.
Esto también se puede calcular maximizando el producto (50+x)·(100− x) = 5000 + 50x − x2, sabiendo que la función f(x) = 5000 + 50x − x2 describe una parábola que tienen como valor máximo su vértice con coordenadas. xV = 50/2 = 25 Luego x = 25 km maximiza la expresión.
También podemos razonar, si hacemos (50 + x) = x y (100 − x) = y, entonces x + y = 150 y el producto x·y es el área del rectángulo y , por lo tanto 150 será el semiperímetro,. El área de ese rectángulo será máxima cuando el lado del rectángulo sea (x+y)/2, es decir, cuando sea un cuadrado.
