PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD. PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT

PROBLEMA 1.- Existe algún natural n tal que n² +1 sea divisible por 4?

Solución: Cualquier número natural n es de uno de estos cuatro tipos:

n = 4m,  n = 4m+1,    n = 4m+2,    n = 4m+3

Probaremos que ninguno de esos cuatro tipos hace que n² + 1 sea divisible por 4

Si n = 4m  ⇒  n² + 1 = 16m² + 1 = 4·(4m²) + 1. En este caso la división

entera de n² + 1 por 4 da resto es 1, por tanto, n²+1 no es divisible por 4 en este caso

Si n = 4m + 1 ⇒ n² + 1 = 16m² + 8m + 1 + 1 = 4·(4m² + 2m) + 2. Se sigue

que, en este caso, n² + 1 tampoco es divisible por 4, dará resto

Si n = 4m + 2 ⇒ n² + 1 = 16m² + 16m + 4 + 1 = 4·(4m2 + 4m + 1) + 1. No

divisible por 4, n²+1 entre 4 dará resto 1

 Si n = 4m + 3 ⇒  n² + 1 = 16m² + 24m + 9 + 1 = 16m² + 24m + 8 + 2 =

= 4·(4m² + 6m + 2) + 2. En este caso n² + 1 tampoco es divisible por 4, dará resto 2.

Por tanto, no existe n tal que n² + 1 sea divisible por 4. En todos los casos posibles de n resulta que n² + 1 tiene resto 1 o 2 en la división por 4.

PROBLEMA 2.- Demostrar que para cualquier entero x, x² múltiplo de 5 o se diferencia de un múltiplo de cinco en una unidad.

Solución: Es decir, x² debe ser de la forma 5k,  5k+1  o  5k-1

Si x el múltiplo de 5  ⇒  x = 5k,  k entero  x² = 25k² = 5n,   ⇒   x² es múltiplo de 5.

Si x no es múltiplo de 5, por el Pequeño Teorema de Fermat (PTF) x⁴ – 1 = M(5), es decir,  (x² – 1)(x² + 1) = M(5), y, por tanto , o bien    (x² – 1) = M(5)  o  (x² + 1) = M(5)  ⇒

 ⇒   x² = 5k + 1  o  x² = 5k – 1

PROBLEMA 3.-   Demostrar que para cualquier entero x, x⁴ es la forma 5k, 5k+1

Solución:

Si x es múltiplo de 5  ⇒  x = 5k, (k entero)  x⁴ = 5(5³·k⁴) = 5n,  x⁴ es múltiplo de 5.

Si x no es múltiplo de 5   (PTF)  ⇒   x⁴ – 1 = M(5), es decir,  x⁴ = M(5) +1 = 5k +1

PROBLEMA 4. – Demostrar que x⁸ es múltiplo de múltiplo de 17 o se diferencia de un múltiplo de 17 en una unidad.

Solución: Es decir, x⁸ es de la forma 17k, 17k+1  o 17k-1.

Si x el múltiplo de 17,  x = 17k    ⇒   x⁸ =17·(17⁷k⁸) = 17 n, luego x⁸  es múltiplo de 17.

Si x no es múltiplo de 17, por el Pequeño Teorema de Fermat:   x¹⁶ – 1 = M(17), es decir,  (x⁸ – 1)(x⁸ + 1) = M(17), equivalentemente,

(x⁸ – 1) = M(17)  o  (x⁸ + 1) = M(17)  ⇒  x⁸ = 17k+1  o  x⁸ = 17k – 1

PROBLEMA 5.-  Demostrar que si un cubo perfecto se divide por 7 da resto 0, 1, o 6.

Solución:

Sea un número N, analizaremos los casos que a sea múltiplo de 7 y que no lo sea.

Si N es múltiplo de 7 múltiplo de 7, N³ da resto 0 a dividirlo por 7.

Si N no es múltiplo de 7, entonces podemos aplicar el Pequeño Teorema de Fermat, N y siete serán primos entre si, entonces:

N⁶ – 1 = M(7)   ⇒   (N³ – 1) (N³ + 1)  = M(7)   ⇒

⇒   N³ – 1 = M(7)   o   (N³ + 1)  = M(7)   ⇒

⇒   N³ = M(7) + 1  o   N³ = M(7) -1

Por tanto, da resto 1 o 6 (ya que -1 es resto por defecto, que da resto 6 por exceso)

PROBLEMA 6.- ¿Existe algún natural n tal que  2ⁿ + 1 sea divisible por 3?

Solución: 2  ≡ -1 (mód 3)     ⇒    2ⁿ  ≡ (-1)ⁿ    (mód 3)   ⇒    2ⁿ  + 1  ≡ (-1)ⁿ  +1  (mód 3)

Para que 2ⁿ  + 1  ≡ 0  (mód 3)  es preciso que   (-1)ⁿ  +1 = 0 y eso ocurre cuando n es

Impar.