RECORRIDOS Y PASEOS SIGUIENDO CUADRICULAS

En este artículo esbozaremos algunas de las propiedades el número de recorridos diferentes que se pueden hacer para ir de un punto a otro en una red cuadrangular formada por líneas horizontales y verticales. Si partimos de un punto O (0,0) hasta un punto A (a,b) el avance se realizará de forma que el desplazamiento en ningún tramo suponga retroceso, es decir, en sentido horizontal el desplazamiento será hacia a la derecha y en vertical hacia a arriba. Esto se puede expresar diciendo que del punto (x, y) se pasa a (x+1,y) o a (x,y+1) hasta alcanzar el punto A (a,b). Los desplazamientos que cumplen esta condición se llaman desplazamientos reticulares. A a + b se le llama longitud del desplazamiento

Cada camino para ir de O a A, ha de tener a + b tramos de los cuales a deben ser horizontales (que representaremos con h) y b verticales (que representaremos con v), cada camino se puede representar por una reordenación de a tramos horizontales y b verticales:

hhhh.. (a veces) … hh, vvvv.. (b veces) … vv

El número de trayectos es fácilmente calculable y se puede expresar en términos de números combinatorios como el número de permutaciones que pueden hacerse con a + b elementos de los cuales hay a iguales a h y b igual a v:

EJERCICIO 1: Cuántos desplazamientos reticulares diferentes habrá para ir del vértice O (0,0) de un cuadrado al vértice opuesto (a, a).

Respuesta:

Habrá (observando la figura)

En un cuadrado 1×1… C_2,1 = 2

En un cuadrado 2×2 … C_4,2 = 6

En un cuadrado 3×3 … C_6,3 = 20

En un cuadrado 4×4 … C_8,4 = 70

En un cuadrado 5×5 … C_10,5 = 252

En un cuadrado axa … C_{2a, a}

EJERCICIO 2: ¿Cuántos desplazamientos reticulares de longitud igual a n parten de (0,0)?

Respuesta: Como son desplazamientos reticulares y no hay retrocesos ni descensos en la trayectoria, un desplazamiento de longitud n partirá de (0,0) y llegará a un punto (a,b) de la retícula tal que a+b = n. Como a y b son enteros positivos esos puntos serán los de la diagonal:

A₀(0, n), A₁(1, n-1), A₂(2, n-2), …, A_n-1 (n-1, 1), A_n(n, 0)

Desplazamientos reticulares de O a A₀: C_{n ,0} = 1
Desplazamientos reticulares de O a A₁: C_{n ,1} = n
Desplazamientos reticulares de O a A₂: C_{n ,2} = n(n-1)/2

….

Desplazamientos reticulares de O a A_n-1: C_{n ,n-1}= n
Desplazamientos reticulares de O a A_n: C_{n ,n}= 1

El número total de desplazamientos reticulares de longitud n será la suma de los desplazamientos a todos los puntos:

C_{n ,0}+ C_{n ,1}+ C_{n ,2}+ ···· + C_{n ,n-1} +C_{n ,n-1}

que la suma de los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton (1+1)ⁿ = 2ⁿ, por lo tanto:

C_{n ,0}+ C_{n ,1}+ C_{n ,2}+ ···· + C_{n ,n-1} +C_{n ,n-1}= 2ⁿ

OBSERVACIÓN

a) El Desplazamientos reticulares para llegar a los puntos de la diagonal (0,1), (1,0) son respectivamente: C_1,0 = 1, C_1,1 = 1,

b) El número de caminos para llegar a los puntos de la diagonal (0,2), (1,1) (2,0) son respectivamente: C_2,0 = 1, C_2,1 = 2, C_2,0 = 1

c) El número de caminos para llegar a los puntos de la diagonal (0,3), (1,2), (2,1) y (0,3) son respectivamente: C_3,0 = 1, C_3,1 = 3, C_3,2 = 3, C_3,3 = 1

d) El número de caminos para llegar a los puntos de la diagonal (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) son: C_4,0 = 1, C_4,1 = 4, C_4,2 = 6, C_4,3 = 4, C_4,4 = 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…….

Que es el triángulo de Pascal

EJERCICIO 3

¿Cuántos desplazamientos reticulares puede hacer Rogelio, que vive en A, para ir a casa de su amigo Abelardo, que vive en B?

¿Cuántos si tiene que pasar por D?

¿Cuántos si Luis no quiere pasar por D porque está Luisito el Pelma y perdería demasiado tiempo?

Solución:

Recorridos diferentes para ir de A a B: Tendrá que hacer seis recorridos horizontales y cuatro verticales: h h h h h h v v v v. Las reordenaciones serán: