El nueve es la mayor de las cifras con las que formamos los números, además, está situada a una unidad por debajo del diez, que es la base de nuestro sistema de numeración, y, por si fuera poco, es muy fácil saber si un número es divisible por nueve: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es nueve o un múltiplo de nueve. Todas estas circunstancias han hecho que el nueve sea uno de esos números afortunados sobre el que se han construido juegos de matemática recreativa, trucos de magia, se ha utilizado para amenizar las clases de matemáticas e incluso empleado como test (no plenamente fiable) para saber si una multiplicación o una división estaban bien realizadas: la conocida como prueba del nueve.
Aplicando el criterio de divisibilidad por 9 podemos decir que 35.789 no es divisible entre 9, ya que 3+5+7+8+9 = 32 no es divisible entre 9 y también que el resto de dividir 35.789 entre 9 es el mismo que el resto de dividir 32 entre 9, o sea, 5, que es la suma de las cifras de 32.
A continuación se proponen, unas cuestiones ilustrativas de las propiedades del nueve y de sus múltiplos
Cuestión 1: ¿Cuál es el resto de dividir 3451894 entre 9?
Cuestión 2: Adivinar la cifra eliminada:
- Un espectador piensa un número de cuatro cifras
- A continuación el mago le dice que reste al número pensado el valor de la suma de sus cifras.
- Por último le dice el mago que elimine una de las cifras que no sea un cero del resultado obtenido y que le diga las cifras restantes en el orden que desee.
Inmediatamente el mago le dirá cuál ha sido la cifra eliminada. ¿Cómo lo hace?
Cuestión 3.- Escribe un número de tres cifras en base 10: abc10 cuya cifra de las centenas sea mayor que la de las unidades (a > c). Invierte sus cifras, y réstalo del mayor ¿Qué resto dará al dividir el resultado entre 9?
Cuestión 4.- La propiedad anterior se puede transformar en adivinanza de la siguiente forma: Se le pide a una persona que piense un número de tres cifras con la cifra de las unidades menor que la cifra de las centenas, que invierta las cifras del número y reste este al número pensado. Se le pregunta la cifra de las unidades y se le puede adivinar el número que ha pensado.
Ejemplo: Si contesta 5 ha pensado el número 495.
Cuestión 5: Un truco de “magia”. El mago le pide a un espectador:
- a) Piensa un número de dos cifras y multiplícalo por 10
- b) Réstale un múltiplo de nueve cualquiera que sea menor que 90.
- c) Por último, el mago le pide el resultado obtenido e inmediatamente descubre el número pensado al principio por el espectador
Lo único que debe hacer el mago es quitar la cifra de las unidades y sumársela al número que queda.
Por ejemplo: Piensa 73 y elige como múltiplo de 9 el 36, entonces: 730-36 = 694,
Las unidades son 4 y el número que queda es 69. Por lo tanto, se cumple el truco del mago: 69+4=73, que es el número pensado. ¿Por qué ha de hacer eso?
RESPUESTAS
Respuesta a la cuestión 1. Este número no es múltiplo de nueve ya que (3 + 4 + 5 + 1 + 8 + 9 + 4 = 34, que no es múltiplo de 9. El resto será la suma de las cifras 3 + 4 = 7
Respuesta a la cuestión 2: El mago se basa en la propiedad de que si a un número cualquiera se le resta la suma de sus cifras, el resultado será siempre múltiplo de 9. Ya que si al número abcd10 le restamos la suma de sus cifras obtenemos:
(1000a + 100b + 10c + d) – (a+ b+ c+ d) = 999a + 99b + 9c,
que es múltiplo de 9. Si eliminamos una cifra de del número resultante, el mago determinará la cifra eliminada sumando mentalmente las cifras que se le va diciendo. La cifra será lo que le falta a la suma para obtener el primer múltiplo de 9. Por ejemplo, si se ha pensado el 9856 se realiza la operación 9856 – 28 = 9828, si ahora eliminamos un 8, la suma de las demás cifras será 19, por tanto, faltan 8 unidades para el siguiente múltiplo de 9, que es 27, luego 8 es la cifra eliminada.
Respuesta a la cuestión 3: La diferencia abc10 – cba10 = (a-c)·100+(c-a). Este número lo podríamos escribir en sistema decimal como (a-c)0(c-a)10, pero (c-a) no es una cifra porque es negativa. Entonces, sumando y restando 10:
abc10 – cba10 = (a-c)·100+(c-a) = (a-c)·100- 10+(10+c-a)
Este número lo podríamos escribir en sistema decimal como (a-c)(-1)(10+c-a), pero (-1) no es una cifra porque es negativa. Entonces, quitando una centena y pasándola a las decenas:
abc10 – cba10 = (a-c)·100+(c-a) = (a-c)·100- 10+(10+c-a) =
= (a-c-1)·100- 90+(10+c-a) = (a-c-1)·100- 9·10 + (10+c-a) = (a-c-1)10– 910 + (10+c-a)10
La cifra de las unidades es 9 y la suma de la cifra de las centenas más la de las unidades suman 9. El resto que dará al dividir entre 9 será cero.
Respuesta a la cuestión 5: Ha pensado en el número ab10= a·10+ b y como múltiplo de 9 c(9-c)10= 10·c+(9-c) [las cifras de los múltiplos de 9 menores que 100 suman 9]]
Si b> c ab010 – c(9-c)10 = a100 + (b-1-c)·10 + (1+c), este número tiene de unidades (1+c); el número que queda será: a·10 + (b-1-c); la suma a·10 + (b-1-c) + (1+c) = a·10+b = ab10
Si b < c ab010 – c(9-c)10= a·100+(b-1-c)·10+(1+c) = (a-1)100+(9+b-c)10+(1+c), este número tiene de unidades (1+c) número que queda: (a-1)·10 + (9+b-c) cuya suma es:
(a-1)·10 + (9+b-c) + (1+c) = (a-1)·10+10+b = a·10+b = ab10
