Los juegos de azar animaron a importantes pensadores a estudiar los fenómenos que se producián en la naturaleza. En los juegos de azar las posibilidades de ganar estaban claramente definidas a priori. En un dado bien construido podemos esperar que al lanzarlo tendremos, por ejemplo, una posibilidad entre seis de sacar un dos. Pero más que eso, se asumida la ley de los grandes números de modo que cuando lanzamos un dado seiscientas veces cada número saldrá aproximadamente cien veces.
Uno de los primeros problemas que se plantearon era el de la equiprobabilidad, es decir, determinar y distinguir si dos sucesos aleatorios tenían las mismas posibilidades de suceder o que en los juegos de azar en tiempos de Galileo (1564-1642) se traducía en observar, si cuando se repetía un experimento aleatorio muchas veces los dos sucesos aparecían con la misma frecuencia.
En realidad el problema de la equiprobabilidad era un problema aritmético, en el que, para resolverlo, bastaba con contar los casos en los que un suceso aparecía. Pero sobre estas situaciones de contar gravitaba lo que se acabaría conociendo (no sin cierta injusticia) como el error de D’Alambert (1717-1783) , que consistía en lo siguiente:
Cuando lanzamos dos monedas diferentes, por ejemplo una de un euro y otra de dos euros podemos obtener cuatro resultados diferentes:
CC, CX, XC y XX
la primera letra representa lo que ha salido en la primera moneda y la segunda letra lo que ha salido en la segunda, así CX significa que ha salido cara en la primera moneda (de euro) y cruz en la segunda (de dos euros). Los cuatro resultados posibles son perfectamente distinguibles e igualmente probables. En este caso
P(CC) = P(CX) = P(XC) = P(XX) = 1/4
¿pero, ocurriría lo mismo si lanzamos simultáneamente dos monedas iguales de un euro, es decir, dos monedas que no seamos capaces de diferenciarlas?
En este caso sucede que los resultados que podemos diferenciar son CC, CX y XX, pero en este caso, aunque solamente seamos de distinguir tres situaciones los resultados no son igualmente probables, ya que
P(CC) = P(XX) =1/4 y P(CX)=2/4=1/2
La razón se debe a que, aunque nosotros no seamos capaces de distinguir más que tres resultados, porque las monedas son exactamente iguales, las monedas son distintas y el resultado cara-cruz se puede dar en realidad de dos formas diferentes.
Si ahora consideramos el experimento aleatorio de lanzar cuatro monedas ¿qué es más probable sacar dos caras o tres caras?
Los resultados posibles de ese experimento son dieciséis (24)
Dos caras pueden salir de seis formas: CCXX, CXCX, CXXC, XCCX, XXCC, XCXC
Tres caras pueden salir de cuatro formas: CCCX, CCXC, CXCC, XCCC
Luego es más probable que salgan dos caras que tres y los sucesos no son equiprobables.
Un problema de equiprobabilidad fue el que le planteó a Galileo el Duque de la Toscana, que había observado que en el juego del diez, en el que se lanzaban tres dados y se sumaban los puntos que el resultado 10 aparecía más veces que el 9, lo que a él le parecía absurdo, ya que ambos números se podían descomponer de seis maneras distintas como suma de tres sumandos del uno al seis de la forma que se muestra y que, por lo tanto, debían ser equiprobables:
9 = 1 + 2 + 6 10 = 1 + 3 +6
9 = 1 + 3 + 5 10 = 1 + 4 + 5
9 = 1 + 4 + 4 10 = 2 + 2 + 6
9 = 2 + 2 + 5 10 = 2 + 3 + 5
9 = 2 + 3 + 4 10 = 2 + 4 + 4
9 = 3 + 3 + 3 10 = 3 + 3 + 4
El Duque no distinguía ente las formas en las que se podía descomponer un número y el hecho de aparecer un resultado al lanzar tres dados. Para comprender esto basta que consideremos un ejemplo: para sacar una suma cuatro con tres dados, el cuatro no admite más que una descomposición que es: 4 = 1 + 1 + 2, pero el dos puede aparecer en el primer dado, en el segundo o en el tercero, por lo tanto, artméticamente hay una descomposición del número, pero hay tres formas de que se produzca el suceso cuando lanzamos tres dados.
Galileo encontró la solución cuando observó que había que tener en cuenta los resultados de cada dado y no la descomposición aritmética de los números, es decir, que, por ejemplo, la descomposición (6,1,2), que significa que en el primer dado ha salido seis, en el segundo uno y en tercero dos, se puede producir también en la forma (1,2,6), es decir, saliendo un uno en el primero, un dos en el segundo y un seis en el tercero. Los resultados posibles serían:
(6,1,2), (6,2,1), (2,6,1), (2,1,6), (1,2,6), (1,6,2).
A continuación expresamos las diferentes formas en las que puede aparecer cada descomposición aritmética cuando de lanzan tres dados:
9 = 1 + 2 + 6 (6 formas ) 10 = 1 + 3 + 6 (6 formas)
9 = 1 + 3 + 5 (6 formas) 10 = 1 + 4 + 5 (6 formas)
9 = 1 + 4 + 4 (3 formas) 10 = 2 +2 + 6 (3 formas)
9 = 2 + 2 + 5 (3 formas) 10 = 2 + 3 + 5 (6 formas)
9 = 2 + 3 + 4 (6 formas) 10 = 2 + 4 + 4 (3 formas)
9 = 3 + 3 + 3 (1 forma ) 10 = 3 + 3 + 4 (3 formas)
En efecto, el nueve podía aparecer en el lanzamiento de tres dados de 25 formas posibles y el diez de 27. En realidad el Duque de la Toscana había caído en el error de D’Alembert: pensando que los tres dados que lanzaban eran iguales e indistinguibles, mientras que Galileo comprendió la importancia de considerar el dado en que ha aparecido cada uno de los números. Razonamientos como este fueron de vital importancia para descomponer un experimento en sucesos equiprobables.
