El Principio de Mínima Acción afirma que la Naturaleza realiza sus cambios y adopta las formas que le suponen el mínimo gasto de materiales, por ejemplo, las burbujas tienen forma esférica, porque la esfera es la figura que encierra mayor volumen entre todas las que tienen la misma superficie. La Neturaleza también realiza cambios en los que se economiza el tiempo, así, el Principio de Fermat afirma que la luz realiza el recorrido para el que emplea un tiempo mínimo.
Estas ideas vienen de muchoe siglos atrás. Heron de Alejandría (siglo I d.C.) se percató de que un rayo de luz que se reflejaba en un espejo lo hacía teniendo un ángulo de incidencia igual al ángulo de reflexión porque cualquier otra trayectoria que pudiera tomar sería más larga.
Este principio se extendió a la filosofía, el franciscano G. de Ockham (1285-1347) formuló un principio metodológico, que expresado en versión original dice: La pluralidad no se debe postular, sin necesidad, lo que significa que “Si para explicar un fenómeno determinado disponemos de varias hipótesis, lo más sensato es aceptar la más simple”
En filosofía G. Leibniz (1646-1716) en Essais de Theodicée sur la bonté de Dieu, la liberté de l’homme (1710) planteó que Dios creó el mejor de los mundos posibles con una armonía preestablecida, un mundo en el que cada una de las piezas estaba unida y en relación con todas las demás. Lo que planteaba era un mundo óptimo y comprensible en el que no cabían el caos ni las complicaciones excesivas.
Debemos hacer notar que la idea de un mundo que funcionaba de la forma más económica posible no pertenecía mundo de la ciencia. Era una idea filosófico-teológica, que fue recibida con recelo por los científicos, por dos motivos: el primero porque no era una idea obtenida de la experiencia directa, sino que era una conclusión obtenida al analizar un conjunto de fenómenos y dar nuestro parecer sobre su funcionamiento; el segundo motivo de recelo era que una idea metafísica, que señalaba una finalidad en las acciones físicas, colocaba al Principio de Mínima acción en el terreno de la teología, sobre todo porque en la ciencia moderna, a diferencia de la ciencia aristotélica, la causa final no se aceptaba.
La postura de la ciencia puede verse reflejada en las ideas de I. Newton (1643-1727) en el Escolio General de los Principia (1687) cuando reconoció haber descrito el funcionamiento de la Ley de Gravitación Universal, pero que no había descubierto la causa de la fuerza de gravitatoria a partir de los fenómenos y dice: no finjo hipótesis, pues todo lo que no se haya deducido a partir de los fenómenos ha de llamarse hipótesis y las hipótesis metafísicas o físicas, ya sean cualidades ocultas o mecánicas, carecen de lugar en la física experimental.
Indudablemente, el Principio de Mínima Acción, llamado a ser uno de los principios más fecundos en el desarrollo de la Física, era un principio metafísico y tenía difícil cabida en la física después de las palabras de Newton. Pero fue expuesto por P. L. Maupertuis (1608-1759) entre 1740 y 1746 en sus obras Loi du repos des corps (1740), donde demostró que la suma de las fuerzas que actuaban sobre un cuerpo en reposo era un máximo o un mínimo y en Accord de différentes lois de la nature, qui avait jusqu’ici paru incompatibles (1744), donde dedujo las leyes de Fermat desde el principio de mínima acción.
Maupertius dio, en efecto, el paso a la filosofía y a la teología cuando publicó en 1750 su Essai de Cosmologie donde demostraba la existencia de Dios y defendía la posibilidad de una Teología Racional basada en el Principio, de la Mínima Cantidad necesaria para producir fenómenos. Poniéndose del lado de los que llegaban a demostrar la existencia de Dios a partir del orden que se observaba en el universo o de las leyes de conservación de Descartes, al cual lo llevaron a afirmar que Dios había creado el movimiento y que por eso se conservaba. Por esta derivación del Principio hacia la religión Maupertuis llegó a pensar que la existencia de Dios podría demostrar mediante una fórmula matemática por lo que fue muy criticado por filósofos como Voltaire (1694-1778).
Faltaba por ver cuál era la acción que debía ser mínima y que estaba llamada a convertirse en Principio de toda la Mecánica. La acción era una cantidad abstracta no medible que tampoco aparecía como relación entre cantidades físicas medibles. Debía entenderse como una idea o una expresión que encerrara toda la información relevante del sistema físico que se deseara estudiar,
Maupertuis formuló un principio para la óptica La trayectoria física seguida por un objeto, que conectaba a dos puntos era aquella en la cual la acción S es mínima, siendo
S = Masa·distancia·velocidad
En la naturaleza la luz seguía, entre las infinitas trayectorias posibles entre dos puntos la que tiene la mínima acción.
Euler en Methodus inveniendi lineas curvas… (1744) donde se ocupó del Cálculo de Variaciones expuso la primera formulación de un Principio de Mínima Acción general (no sólo para la luz), sino para calcular las trayectorias descritas por partículas sometidas a fuerzas centrales. Comenzó la exposición partiendo de un principio metafísico, es decir, de que todos los efectos que se producen en la Naturaleza obedecen una ley de máximo o mínimo; y afirmando que, incluso en las trayectorias curvas que describen los proyectiles, hay alguna propiedad que se hacía máxima o mínima. Euler decía que el método para descubrir esa propiedad que se debe optimizar resolviendo el problema por el método directo, por ejemplo, por las Leyes de Newton, y, prestando la debida atención, descubrir cuál es esa propiedad.
Euler definió para una masa puntual m, con una velocidad v, que recorre un espacio pequeño ds una acción m·√v·ds.
Y la trayectoria descrita por la partícula ha de ser tal que de tal manera que
es la suma de todas las fuerzas vivas en cada uno de los instantes de tiempo ha de ser un mínimo. Euler demostró que el Principio daba los resultados correctos, los que se obtenían usando las Leyes de Newton si y sólo si la expresión diferencial de la fuerza derivaba de un potencial.
La expresión definitiva la dio J.L. Lagrange (1756-1813) que tomo como función la diferencia entre la energía cinética y la potencial L = T – V
Definió la acción como:
Esta acción será mínima si L cumple las Ecuaciones de Euler-Lagrange
Y cuando Lagrange se ocupó del estudio de un sistema de partículas en el que las fuerzas de interacción entre ellas derivaban de una función potencial, probó que su expresión del Principio de Mínima Acción, junto con la ley de la conservación de la energía, era equivalente a las Leyes de Newton del movimiento y que podía emplearse como una formulación alternativa de las leyes de la Mecánica Clásica. A partir de la formulación de Lagrange se abrió un nuevo camino para la Física.
