Desde los comienzos de la ciencia moderna las matemáticas y la física han ido de la mano. Galileo Galilei (1564-1642) había proclamado a los cuatro vientos la necesidad imperiosa de saber matemáticas porque eran la clave con la que se podía descifrar el funcionamiento de la naturaleza. Así lo expresó en un famoso pasaje de Il Saggiatore (1623) diciendo:
La filosofía [natural] está escrita en ese grandioso libro que tenemos abierto ante los ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Ese libro está escrito en lenguaje matemático y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.
La ilustración adjunta reproduce unos apuntes originales de Galileo en los que realizó esta composición de movimientos, obteniendo varias trayectorias parabólicas a partir de valores diferentes de la velocidad horizontal del lanzamiento. Galileo utilizó las matemáticas para describir el movimiento
Con este modelo de ciencia, los matemáticos empezaron a buscar relaciones numéricas entre diferentes magnitudes medidas en la naturaleza. Establecieron relaciones no solamente entre las medidas del tiempo y del espacio, sino que, además, entre nuevos conceptos tales como fuerza, presión, aceleración, intensidad eléctrica, energía potencial, etc. de modo que entre las matemáticas y el estudio de la naturaleza se establecieron unos canales de comunicación de ida y vuelta por los que las matemáticas se aplicaban para el estudio de la naturaleza, pero también por los que la naturaleza daba, en muchas ocasiones, respaldo y validación a los métodos matemáticos.
La geometría euclidiana se adaptaba bien al estudio del movimiento, pero los métodos algebraicos permitieron introducir, todavía más, a la geometría y a las matemáticas en general en el estudio de los fenómenos naturales. La obra cumbre de I. Newton (1642-1727), que se conoce con el nombre abreviado de Principia (1687), se movía en el camino apuntado por Galileo, ya que el título completo traducido: Principios Matemáticos de la Filosofía Natural hacía alusión al descubrimiento del recóndito lenguaje matemático que encerraba la naturaleza, a la vez que lo separaba de los métodos cualitativos de la filosofía escolástica tradicional.
Los astrónomos pre newtonianos utilizaron las matemáticas para hacer el cálculo de efemérides de los astros, los avistamientos en el firmamento de los cuerpos celestes o la predicción de eclipses. J. Kepler (1571-1630) dio importante en el uso de las matemáticas para profundizar en el conocimiento del movimiento de los astros; descubrió tres relaciones matemáticas que cumplían los movimientos planetarios y que se conocen como leyes de Kepler.
Newton hizo mucho más: halló teoría matemática en la que, incorporando nuevos conceptos derivados de la realidad física, como masa, cantidad de movimiento, fuerza o fuerza de atracción (la gravedad), que afectaban, tanto a los cuerpos del cielo como a los objetos de la Tierra, y logro unificar los problemas planteados por Galileo y Kepler en una teoría única. A finales del siglo XVII Newton unificó los dos problemas mediante las fórmulas, hoy día archiconocidas:
Para desplegar y aplicar las nuevas ideas aparecieron en matemáticas temas tan fecundos como el Cálculo Infinitesimal, los desarrollos en serie o el manejo y el significado físico y geométrico de las sucesivas clases de números (sobre todo de los números complejos). Todas estas nuevas ramas de las matemáticas se aplicaron con un éxito indudable, ya que permitieron profundizar en el conocimiento de la naturaleza y ampliar su metodología, que cada vez se veía más apoyada por su carácter explicativo y predictivo de la evolución de los fenómenos naturales. En suma, los propios éxitos de las matemáticas en el estudio de los fenómenos naturales la hacían avanzar más y más en direcciones dudosamente fundamentadas desde el punto de vista lógico, lo que venía a significar alejarse del more geométrico axiomático-deductivo representad por la geometría euclidiana.
Por eso, pese al éxito de las matemáticas creadas para explicar fenómenos naturales, algunos matemáticos rigurosos afirmaban que la ciencia elaborada de este modo era una construcción armoniosa, de bellas fachadas, pero con un interior mal estructurado, de vigas oscuras, dispares, quizás carcomidas y con indudables goteras.
Con este sentimiento, algunos matemáticos se dedicaron a estudiar el andamiaje de la estructura matemática y a proporcionarle rigor en conceptos tan peliagudos como los infinitésimos, el infinito, la noción de función, o cuestiones de convergencia de sucesiones, series y funciones. Estos estudios mostraron la necesidad de proporcionar a las matemáticas una fundamentación lógica.
A esta labor se aplicaron, en el primer cuarto del siglo XIX, matemáticos de la talla de A. Cauchy (1789-1859) o B. Bolzano (1781-1848). Pero la gran revolución en el pensamiento matemático se produjo con la aparición de las Geometrías no Euclidianas, que hicieron tambalear y cambiar las bases de la tradicional cooperación entre las matemáticas y la física
El matematico aleman B. Riemann (1826-1866) abrió el camino a las nuevas geometrías en su trabajo Sobre las hipótesis en que se funda la geometría (1854), donde se ocupó de los fundamentos de la geometría, que pasó a considerarla como una interpretación o estructuración del espacio (la euclidiana sería una interpretación más). En 1856 E. Beltrami (1835-1900), en su artículo Ensayo sobre una interpretación de la geometría no euclidiana, demostraba la consistencia de las geometrías no euclidianas que habían publicado J. Bolyai (1802-1860) y N. Lobachevsky (1792-1856) y se rompió, la hegemonía de la geometría de Euclides en las matemáticas.
Entonces se suscitaron preguntas que afectaban, de forma directa, a la física clásica, que suponía que el espacio físico era el espacio euclidiano ¿cuál de ellas era la real, la que respondía al mundo físico? Y, además, en las matemáticas se abría la cuestión de que si habían construido modelos de geometrías aceptando o negando el axioma de las paralelas (como los de Beltrami o más tarde el de Poincaré), esos modelos podían darse en mundo real. Pero si se pensaba que el mundo respondía a una configuración determinada del espacio real, ¿Qué sucedía con las nuevas geometrías? Sólo una podía responder la geometría de nuestro espacio y, por tanto, sólo una podía responder y representar al mundo real y Beltrami había probado que las tres geometrías eran consistentes desde el punto de vista lógico.
Con las geometrías no euclidianas se dio un salto que separaba y diferenciaba claramente las matemáticas de la física, ya no se harían matemática a la medida de los fenómenos físicos. Muchos matemáticos dejaron el camino de hacer una matemática configurada a medida y para explicar los fenómenos físicos y la realidad y pasaron a ocuparse de cuestiones que, podían tener inspiración en el mundo físico, pero que no trataban de explicar o expresar el desarrollo de ningún fenómeno natural. Estos nuevos matemáticos se ocuparon de elaborar teorías que tuvieran coherencia desde el punto de vista lógico. La física se ocupó de plantearse problemas y la matemática se dedicó a construir estructuras y válidas desde el punto de vista lógico.
A partir de ese momento, las matemáticas volvieron su mirada hacia adentro y emprendieron sus investigaciones y se desarrollaron siguiendo el rigor lógico y la estructura coherente de las proposiciones y dejaron de lado mirar la naturaleza con la intención de observar un fenómeno y tratar se expresarlo en lenguaje matemático, tal y como lo había hecho Newton en el estudio del movimiento de los planetas.
Desde mediados del siglo XIX, los matemáticos empezaron a estudiar problemas de la propia matemática diversificaron las direcciones de investigación y surgieron nuevas ramas abstractas: matrices, determinantes, teoría de grupos, estructuras algebraicas, cálculo vectorial, etc. Pero esas ramas abstractas siguieron creciendo y ramificándose con independencia de la física y, milagrosamente, esa matemática, producto mental, no elaborado a medida de la evolución de los fenómenos naturales, pudo seguir aplicándose al estudio de la física, pero eso lo detallaremos más adelante.
