Algunos resultados matemáticos parecen sorprendentes sobre todo cuando aparecen por medio las probabilidades y las relacionamos con resultados que tenemos concebidos previamente.
Por ejemplo, podemos plantearnos si en una convención de 250 personas podemos asegurar que hay alguna de ellas cumplirá los años el mismo día que nosotros. Es evidente que no lo podemos asegurar, porque si una persona ha nacido, por ejemplo, el 17 de enero, los 250 asistentes a la asamblea pueden haber nacido en cualquiera de los 364 días restantes, e incluso, pueden estar celebrando la reunión de los que nacieron el 9 de agosto, por ejemplo.
Plantearemos los siguientes ejercicios:
Problema 1: En una reunión de 250 personas ¿cuál será la probabilidad de que alguna persona que haya nacido el 17 enero?
Respuesta:
Sea A = {nacido el 17 de enero} y AC = {no nacido el 17 de enero}
Por lo tanto: Card (A⋃AC) = 250. Calculemos la probabilidad de ninguna de las 250 personas haya nacido en 17 de enero, es decir P( las 250 personas AC):
Para calcular la probabilidad de que al menos uno haya nacido el 17 de enero usaremos la probabilidad del suceso complementario [P (A) = 1 – P (AC)]
Problema 2: ¿Cuántas personas tiene que haber en una reunión para que haya alguna persona que cumpla años el 17 de enero con una probabilidad del 95%?
Solución:
Tendrá que haber n personas. Con razonamiento análogo al anterior:
Queremos calcular n para que P (A) = 1 – P (AC) = 0,95, es decir:
De dónde:
Y, por tanto, n = 1092 personas
Puede comprobarse si la reunión tiene:
1500 personas la probabilidad será: 0, 9836777964
2000 personas la probabilidad será: 0,9958596373
Una cuestión diferente sería preguntarnos por la probabilidad de que en ese grupo de 250 personas haya dos que cumplan años el mismo día (un día cualquiera).
Problema 3: Calcular la probabilidad de que en un grupo de 50 personas haya al menos dos que cumplan años el mismo día
Respuesta:
Para asegurar que cada persona cumpla años en un día diferente: La primera puede haber nacido un día cualquiera de los 365 días del año, la segunda cualquiera de los 364 días restantes, la tercera tiene 363 días posibles y la número 50, puede haber nacido cualquier día en los (365-50+1) = 216 dias, por tanto:
la probabilidad de cada una de las 50 personas haya nacido en un día distinto del año será:
Luego la probabilidad de que al menos dos hayan nacido el mismo día será:
1 – 0,000094 = 0,999906 (casi seguro)
Lo que supone una probabilidad altísima
Expresando el problema de forma general, si en el grupo hubiera n personas la probabilidad de que cumplan años en días distintos será:
luego la probabilidad de que al menos dos hayan nacido el mismo día será:
Lo que se conoce como la paradoja del cumpleaños está en la sorpresa que produce que basta que haya 23 personas reunidas para que haya una probabilidad de 0’507297 de que, al menos, dos de ellas cumplan años el mismo día.
Problema 4: A un partido de fútbol asisten 465 espectadores. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos cumplen años el mismo día del año?
Solución:
Aplicando el principio del palomar es fácil probar que por lo menos hay dos espectadores que cumplen años el mismo día del año y que, por lo tanto, la probabilidad será 1.
Podemos imaginar que los espectadores son palomas y los nidos los 365 días del año.
El problema se reduce a acomodar a los 465 espectadores en las 365 días. Por ejemplo, escribiendo en cada uno de los días del año el nombre de un espectador, y, como 465 > 365, en algún día del año habremos escrito más de un nombre. Por lo tanto, necesariamente encontraremos al menos un día en el que cumplen años dos o más espectadores. Por lo tanto, la probabilidad será 1 (seguridad absoluta)
