PRIMERO.– a) Calcula un número N entero positivo que dividido entre 2, entre 3, entre 4, entre 5, entre 6 y entre 7 da, resto 1 en todos los casos. b) ¿Cuál es menor número que cumple esas condiciones?
Solución: N tiene que ser a la vez múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 más una unidad, por lo tanto:
a) N = 2·3·4·5·6·7 + 1 = 5040 +1 = 5041
b) El menor valor de N será: N = mcm (2·3·4·5·6·7) + 1 = 421
SEGUNDO.– Calcula un número N que dividido entre 3, entre 4, entre 5, entre 6 y entre 7 da, resto 2, 3, 4, 5, 6 respectivamente.
Solución: N tiene que ser a la vez múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 menos una unidad, por lo tanto:
N = 3·4·5·6·7- 1 = 2520 -1 = 2519
El menor N que cumple las condiciones será: N = mcm (3·4·5·6·7) – 1 = 420 -1 = 419
TERCERO.- Calcula un número N que dividido entre 5, entre 6, entre 7 y entre 8 da resto 3, 4, 5 y 6 respectivamente
Solución: N tiene que ser a la vez múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 menos dos unidades, por lo tanto:
N = 5·6·7·8- 2 = 1680 -2 = 1678
El menor N que cumple las condiciones será: N = mcm (5·6·7·8) – 2 = 840-2 = 838
CUARTO.– Calcula un número N que dividido entre 5, y entre 7 da resto 3 y 6 respectivamente
Solución: N debe cumplir N = 5x + 3 = 7y + 6 con x e y enteros positivos ⇒
⇒ 5x – 7y = 3 ⇒ y = (5x-3 )/7
Por tanteo obtenemos que para x = 9 el valor y = 6 ⇒
⇒ N = 5·9 + 3 = 7·6 + 6 = 48
Para calcular más valores de N, llamaremos a y b a una solución cualquiera entera y positiva de la ecuación 5x – 7y = 3. Entonces se verifica las dos igualdades:
5a – 7b = 3 y 5·9 – 7·6 = 3,
restando miembro a miembro ambas expresiones:
5(a-9) – 7(b-6) = 0 ⇒
⇒ (a-9)/7 – (b-6)/5 = t
⇒ a = 9 + 7t b = 6 + 5t, infinitos
a = 16 , 23, 30, 37, 43… b = 11, 16 ,21, 26, 31…
N = 5·16 + 3 = 83, 5·23 +3 = 118 , 5·30 + 3 = 153, 5·37 + 3 = 188, 5·43 + 3 = 218 …
QUINTO.- Calcula un número N que dividido entre 5 da resto 3, entre 7 da resto 2 y entre 8 da resto 5
Solución: N = 5x + 3 = 7y + 2 = 8z +5 ⇒
5x + 3 = 7y + 2 ⇒ 7y – 5x = 1 (1) y
7y + 2 = 8z +5 ⇒ 7y – 8z = 3 (2)
De (1): 7y – 5x = 1 ⇒ y =(1+5x)/7 ⇒
para x = 4 se tiene y = 3 ⇒ (la solución general obtenida como en el ejercicio anterior)
⇒ x = 4 + 7s y = 3 + 5s
Sustituyendo la y en (2) ⇒ 7(3+5s) – 8z = 3 ⇒ 35s – 8z = -18 ⇒
⇒ s = (8z -18 )/35 ⇒ para z =11 se obtiene s=2 ⇒
⇒ s = 2 + 8t y z = 11 + 35t ⇒
⇒ x = 4 + 7(2+8t) y = 3 + 5(2+8t) y z = 11 + 35t
x = 18 + 56t y = 13+40t y z = 11 + 35t
Los valores de N se obtienen dando valores 1, 2, 3, 4, … a t se obtiene:
N = 5x + 3 = 5(18+56t) + 3 = 93+ 280t
N = 7y+2 = 7(13 + 40t ) + 2 = 93+ 280t
N = 8z +5 = 8(11 + 35t ) + 5 = 93+ 280t
