Problema 1.- En el cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 u, uniendo los vértices con los puntos medios de los lados, como indica la figura, hemos definido un cuadrilátero OPQR (que será un cuadrado) ¿Cuál será el área del cuadrado OPQR?
Solución: Es trivial que la recta que parte de un vértice hacia el punto medio de un lado (P.e. la que parte del vértice A, AA’) es perpendicular a las que parten de dos vértices adyacentes (es decir, a las rectas BB’ y DD’) y es paralela a la recta que parte del vértice adyacente (es decir, a la CC’) y que forman el cuadrilátero OPQR.
Consideremos el triángulo ABP, que es rectángulo en P; OD’ es paralela media del triángulo. Entonces
PB = 2·0D’, AD’ = D’B =1 y AO =OP
Como, por simetría de la figura, los triángulos AOD’ y BPA’ son iguales:
Considerando AA’ = AO + OP + PA’ QRDB’ ROAC’
Si llamamos OD’ = x , entonces PA’ = OD’ = x, OP = PB = 2x y, AO = PB = 2x, por tanto,
AA’ = AO + OP + PA’ = 2x + 2x + x = 5x
Con el triángulo rectángulo ABA’
AB = 2, BA’ = 1 y AA’ = 5x ⇒ (5x)2 =1+ 4 ⇒
⇒ 5 x2 = 1 ⇒ x =√5/5,
Luego, como el lado de OPQR es L = 2x = 2√5/5 u, el área de OPQR = (2√5/5)2 = 4/5 u2
Ejercicios propuestos:
- Demostrar que el área de cada uno de los triángulos AOD’, BPA’, CQB’, DRC’ es 1/5 u2
- Demostrar que el área de cada uno de los trapecios OPBD’, PQCA’, QRDB’ ROAC’ es 3/5 u2
