PROBLEMA 1: Calcula el área de un trapecio rectángulo ABCD tal que la base menor BC = 8 cm. La diagonal AC = 10 cm y la diagonal BD = 15 cm.
Solución: Calculemos la altura del trapecio AB = h:
Como el triángulo ABC es rectángulo en B, por el teorema de Pitágoras, se cumple que:
AB2 = AC2 – BC2 ⇒ AB2 = 102 – 82 = 36 ⇒ AB = 6 cm.
Calculemos la base mayor AD: Si trazamos, por C una paralela, CC’, a BD, el triángulo CMC’ es rectángulo en M y cumple por los datos:
CM = AB = 8 cm., BD = CC’ = 15 cm. debemos calcular la base AD = MC’
AD2 = CC’2 – CM2 ⇒ AD2 = 152 – 82 = 225 – 64 = 189 ⇒ AD = 13,75 cm
PROBLEMA 2: Calcula el área de un trapecio isósceles de bases 4 cm y 10 cm y cuyas diagonales miden de 12 cm.
Solución: Area: El triángulo isósceles ACC’ es isósceles de base AC’ = 14 cm (AM=7cm , MD =3 cm y DC = 4 cm ) y lados iguales, AC y CC’ miden 12 cm. El triángulo CMC’ es rectángulo en M y CM = h
CM2 = 122 – 72 = 144 – 49 = 95 CM = h = 9,75
PROBLEMA 3: Área de cada uno de los triángulos cuatro triángulos en que dividen las diagonales al trapecio.
Solución: CM = h = 9,75 cm. El triángulo BCO es isósceles de base 4 y altura x y es semejante al triángulo ADO de razón de semejanza 10/4 = 2,5.
Área BCO = (4 x 2,78)/2 = 5,56
Como BCO y ADO son triángulos semejantes de r = 2,5 (razón de semejanza):
Área ADO = 5,56 ·2,52 = 34,85
En el ejercicio anterior hemos calculado el área del trapecio entero que era 68,25 cm2. Por tanto: Área ABO = Área CDO = (68,25 – 40,41) /2 = 27,84 cm2.
PROBLEMA 4: Dado el trapecio rectángulo ABCD, calcula la relación entre las áreas de OAB y ODC para que el área total del trapecio sea cien veces el área del triángulo OAB
Solución: Observaciones:
Primera: Los triángulos OAB y OCD son semejantes razón de semejanza k. Por lo tanto:
Área de (OCD) = k 2· Área de (OAB)
Segunda: Si h es la altura relativa a la base BD del triángulo ADB, resulta que:
Área de (OAB) = h·OB y Área de (OAD) = h·OD
Como Los triángulos OAB y OCD son semejantes (OD/OB) = k, por lo tanto:
Área de (OAD) = k· Área de (OAB) y
Y, análogamente:
Área de (OBC) = k Área de (OAB)
Area del trapecio = Área de (OAB) + Área de (OBC) + Área de (OCD) + Área de (OAD) =
(llamando a Área de (OAB)= A1 y teniendo en cuenta los resultados resaltados en negrita)
= 100 A1 = A1 + k·A1 + k 2·A1 + k·A1 = A1 (1 + 2·k + k 2) = (1+k)2· A1
por lo tanto: (1+k)2 = 100 ⇒ k = 9
Por consiguiente, la razón de semejanza entre los triángulos OAB y ODC es k = 9 y la razón entre las áreas será k 2 = 92 = 81.
