El cuadrado mágico más famoso de orden 3×3 está formado por las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de manera que las tres cifras situadas en cada una de sus filas, de sus columnas y de sus diagonales suman 15.
El cuadrado es simple, pero su estudio proporciona una serie de cuestiones curiosas que estimulan la reflexión y el pensamiento matemático
La tradición sitúa el origen de este cuadrado mágico en una leyenda china que cuenta, que en el III milenio a.C., mientras el emperador Fu Shi paseaba por la ribera del río Amarillo, vio aparecer una tortuga con un diagrama numérico en su caparazón, que mandó copiar inmediatamente en una tablilla de barro. Al diagrama lo llamó Lo Shu y ese patrón numérico tiene una enorme importancia en la cultura china para la geomancia, la numerología y la filosofía. El registro, de hecho, más antiguo es, también de recoge en china en China, en un tratado del siglo I. En occidente, los cuadrados mágicos aparecen por primera vez en el año 130 d.C. en los trabajos de un astrónomo pitagórico griego Teón de Smirna (70-135 a. C.). Hacia el siglo XIII., los cuadrados mágicos eran ya conocidos por toda Europa, de hecho, muchos astrólogos y médicos medievales los usaban con frecuencia para predecir el futuro, curar enfermedades o como símbolos o talismanes para guardarse plagas y maleficios. En el renacimiento fueron estudiados por matemáticos y alquimistas en culturas como la árabe, el Renacimiento.
1.- Cuadrado mágico:
DEFINICIÓN: Un cuadrado mágico 3×3 (C3) es una matriz 3×3 formada por números distintos tal que la suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal es la misma. A esa suma de le llama CONSTANTE MÁGICA del cuadrado.
OBSERVACIONES SOBRE EL CUADRADO MÁGICO 3X3 FORMADO POR LOS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1.- El cálculo de la constante mágica de C3 se realiza fácilmente: La suma de todos los números del cuadrado será:
1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9 = 45
Como cada el cuadrado mágico tiene tres filas (o tres columnas) la suma de cada fila será M = 45/3 =15.
Así que los números de cada fila, columna o diagonal deben sumar 15.
2.- El cinco ocupa, necesariamente, el centro del cuadrado mágico.
Sea e el centro del cuadrado mágico. En cualquier fila, columna o diagonal que pase por el centro los dos números contiguos a e deben sumar 15 − e . Las cuatro parejas de números contiguos a e son ocho números distintos La suma de esos ocho números, a, b, c, d, f, g, h,i es 45 − e. Pero también son cuatro parejas que suman 15 – e y la suma de las 4 será es 4 (15−e).
Por tanto, 4(15 − e) = 45− e y obtenemos: 15 = 3e ⇒ e = 5.
3.- ¿Puede una esquina estar ocupada por un número impar?
No. Supongamos, por ejemplo, que 1 ocupa la esquina superior izquierda, a; la esquina opuesta, i, será 9. Además, como
a + i = 15−5 =10. En la primera fila se cumple que b + c = 14.
Por otra parte, Quitando ya el 5 y el 9, los números disponibles para, b, c {2, 3, 4, 6, 7, 8}. La única pareja de números distintos de ese conjunto que suma 14 es {6,8}. Entonces las opciones son que b = 6 y c = 8 o bien que b = 8, c = 6.
Pero la columna derecha, que contiene c, f y 9, y debe cumplir que c + f + 9 = 15;
Si c = 8, entonces, 8 + f + 9 = 15 entonces f = −2 ⇒ (imposible), y
Si c = 6 entonces 6 + f + 9 =15, entonces f = 0 (imposible)
Ya que, en ambos casos, f ∉ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
El mismo razonamiento puede repetirse suponiendo que los números 3 ,7 o 9 ocupan los extremos de las diagonales (las esquinas) del cuadrado.
Con lo que concluimos que, en el cuadrado mágico 3×3, el 5 ocupa el centro, que los números impares ocupan los extremos de las diagonales y que los extremos de la columna central y de la fila central lo ocupan los números pares
