Cuando tenemos un conjunto de datos x1, x2, …, xn-1, xn, en importante resumir ese conjunto numérico a mediante gráficos y números. Este resumen es transcendental cuando el número de datos es grande, En estos casos la estadística proporciona primera aproximación de entender esos datos adecuadamente. El primer acercamiento para analizar cualquier conjunto de datos es encontrar su centro, es decir, un valor que represente a todos ellos. Para ello la estadística dispone de medidas de centralización. Estos son la media, la mediana y la moda.
La moda es el valor que más se repite, la mediana es un valor talque el 50% de los datos es menor que el y el otro 50% es mayor. Medias hay tres: la aritmética, la geométrica y la armónica. La media más utilizada de todas ellas es la media aritmética o promedio.
La media aritmética de un conjunto de n datos es la suma de todos los datos dividida por el número n de elementos.
La media aritmética tiene muchas propiedades:
- Es un valor comprendido entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos.
- Le influye cada uno de los valores de los datos.
- La media de un conjunto de valores no tiene por qué ser igual a alguno de los valores iniciales
- La suma de las desviaciones respecto a la media (xi – m) de todo el conjunto de datos es cero.
- La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable, con relación a un número cualquiera a,
(x1 – a)2 + (x2 – a)2 + (x3 – a)2 + ··· + (xn – a)2
La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética. En otras palabras, se cumple siempre que:
se hace mínima cuando a = m.
- Si todos los valores los datos se aumentan o disminuyen en la misma cantidad, la media aritmética va a quedar aumentada o disminuida en dicha cantidad.
- Si todos los valores los datos multiplican o dividen por un mismo número distinto de cero, la media aritmética queda multiplicada o dividida por dicho número.
La media aritmética se utiliza más que la armónica, que es desaconsejable cuando un valor es nulo y para valores muy pequeños, la media geométrica se emplea cuando los datos varían de forma multiplicativa (sucesivo crecimiento porcentual del precios al consumo crecimiento de una población de bacterias, y, en general, para promediar números que están en progresión geométrica). La propiedad de que la media aritmética proporcione el valor de mínimo error cuadrático de un conjunto de datos y por ser mayor que el valor medio obtenido por las otras dos medias hacen que la media aritmética sea la más utilizada.
La media aritmética frente a la media geométrica
Habitualmente las calificaciones en la enseñanza se calculan con la media aritmética de las notas obtenidas en diferentes pruebas. Si se relacionan las notas con los contenidos, las grandes dispersiones en las calificaciones de un alumno se pueden explicar por causas externas; una nota alta aislada entre muchas bajas puede significar que hizo trampas y una nota baja aislada baja puede deberse a que no ha podido estudiar o a problemas familiares a desmotivación. Pero la media aritmética siempre será mayor que a geométrica.
Si un alumno ha obtenido las notas 2, 3, 2, 8, 3, 2, 8 la media aritmética y la geométrica son
m = 28/7= 4
Hay algunos defensores de la media geométrica y se apoyan en que, como el conocimiento es acumulativo, no conviene dejar lagunas o partes de la materia mal aprendidas. Pero la media geométrica no se utiliza habitualmente en el cálculo de notas por ser desalentadora.
EJERCICIOS PARA TRABAJAR LA MEDIA ARITMÉTICA
PROBLEMA 1.- La nota media de 10 estudiantes fue 9,2 ¿Cuál es la nota más baja que pudo tener alguno de los 10 estudiantes? (Solución: 2)
Respuesta: Entre todos los 10 estudiantes obtuvieron 92 puntos. La mínima nota que pudo tener uno de ellos se obtendría cuando los nueve restante hayan obtenido la máxima, es decir 9 dieces, nueve 10 y un dos.
PROBLEMA 2.- La nota media de Juan en sus cinco primeros controles fue un 8. En el sexto fue un 7, en el séptimo un 5. Si la nota de los ocho primeros fue 7,5 ¿Qué nota fue la del octavo control?
Respuesta: Entre los ocho exámenes obtuvo 8 · 7,5 = 60 puntos.
En los siete primeros obtuvo: 5·8 + 7 + 5 = 52 puntos, luego en el octavo tuvo un 8
PROBLEMA 3.– Si la media aritmética de cinco enteros positivos distintos es 15 y la mediana es 18 ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar alguno de ellos?
Respuesta: Como la media aritmética de los cinco números es 15, su suma debe ser 15·5 =75. Ordenando los cinco números (en orden creciente), el tercero ha de ser 18 (es la mediana).
El primero y el segundo deben ser los menores enteros posibles: 1 y 2.
En cuarto debe ser el menor entero posible mayor que la mediana: 19.
La suma de los cuatro primeros debe ser 1 + 2 + 18 + 19 = 40, luego el quinto es 35
1, 2, 18, 19, 35
PROBLEMA 4– La media de cuatro números es k, si añadimos el 40, la media es 14 ¿Cuánto vale k?
Respuesta: La suma de los cuatro números es 4k, añadiendo el 40, la media es 14, por lo tanto los cinco sumarán 14· 5 = 70 ⇒ 4k + 40 = 70 ⇒ 4k = 30 k = 7,5
PROBLEMA 5.- Antonio y Blanca hacen cuatro test (de puntuación máxima de 100 puntos cada uno). Antonio saca 78 de media. Blanca obtiene en el primero 10 puntos menos que Antonio; en el segundo 10 puntos más y en el tercero y cuarto 20 puntos más que Antonio ¿Cuál es la diferencia de la media de los cuatro test de Blanca y Antonio?
Respuesta: Sea a, b, c, d las notas de los cuatro test de Antonio. como m =78:
a + b + c + d = 4·78 = 312
Blanca ha obtenido: (a-10), (b+10), (c+20), (d+20) ⇒
(a-10) + (b+10) + (c+20) + (d+20) = a + b + c + d + 40 = 312 + 40 = 4m ⇒ m = 88
La media se ha incrementado en 10
(se podía haber hecho más fácilmente recordando que los cuatro valores de los test de Blanca se han incrementado en 40 puntos, por tanto la media se habrá incrementado en 10 de media
PROBLEMA 6.- La media aritmética de cinco números es 54 la media aritmética de los dos primeros es 48 ¿Cuál es la media de los tres últimos?
Respuesta: Sean los números a, b, c, d, e
a + b + c + d + e = 5·54 = 270 ⇒ 48 + 48 + c + d + e = 270 ⇒
⇒ c + d + e = 270 – 96 ⇒ c + d + e = 174 ⇒ m = 174/3 = 58
