Leonardo Bigollo también conocido como Leonardo Pisano (1170-1240), ha pasado a la historia con el sobrenombre con el que se conoció en su época, que fue el de Fibonacci, palabra derivada de la composición de los dos vocablos fillius + bonnacci que significa, hijo de Bonaccio.
Fibonacci escribió en 1202 Liber Abaci, una obra de importancia capital en la historia de las matemáticas porque era un texto en el que se explicaba cómo sumar, restar, multiplicar y dividir con la numeración posicional indo arábiga. Y, además, aplicaba la Aritmética con este sistema de numeración a la resolución de otro tipo de problemas algebraicos y geométricos.
Aunque puede parecer que es una obra de carácter elemental, en realidad era obra de vanguardia, ya que en Europa en esa época todavía se usaba el sistema de numeración romano y el trabajo de Fibonacci fue fundamental, renovador y modelo para futuros tratados de Aritmética.
A finales del siglo X, el monje benedictino, G. D’Aurillac (946-1003), que sería elegido Papa en el año 999, después de estudiar la ciencia árabe en la Península Ibérica, introdujo en Francia el sistema de numeración decimal posicional y el cero, que ya se utilizaban en Andalucía desde que el matemático árabe Al-Khuwarizmi (780-850) los trajera de la India y los incorporara a la ciencia árabe.
Se podría pensar que el libro de Fibonacci venía con dos siglos de retaso y que era una más entre las obras que se pudieron escribir sobre Aritmética, pero no es así por varios motivos, uno de ellos es que la difusión de los conocimientos era lenta (los copistas no tenían la prontitud Internet), otro fue que no se veía en la vida práctica una necesidad imperiosa de utilizar el nuevos sistema de numeración, porque, además de las pocas escuelas para enseñar a la población, mayoritariamente analfabeta, en el escaso comercio que existía en un sociedad feudal se podían seguir usando los números romanos y sólo se veía la necesidad de usar la numeración indo arábiga, para llevar contabilidades o en los trabajos científicos, sobre todo en Astronomía.
A comienzos del siglo XIII, la formación de las grandes ciudades fomentó el comercio local ciudadano y el comercio a larga distancia y se hizo necesario el manejo de contabilidades y hacer previsiones lo que era más fácil con la nueva numeración que fue la que adoptaron los comerciantes y artesanos y banqueros para llevar sus cuentas y movimientos monetarios.
Fibonacci en Liber Abaci expuso los algoritmos de las operaciones aritméticas justificándolos con rigor. Fundamentó las herramientas y las reglas de cálculo (como la regla de falsa posición) con consideraciones geométricas euclidianas. Finalmente, aplicó las reglas a diferentes tipos de problemas de repartos, de compañías, de aleaciones de monedas, de raíces cuadradas, y a diferentes tipos de situaciones en negocios.
Uno de los problemas del Liber Abaci, que se ha convertido en el más famoso del libro, es el Problema de los Conejos de Fibonacci que lo formuló de la siguiente forma:
Una pareja de conejos adulta procrea una nueva pareja cada mes, se supone que los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes, se aparean y el periodo de gestación es también de un mes), es decir, que una pareja de conejos recién nacidos tarda dos meses en procrear, a su vez, otra pareja.
Fibonaci planteó el problema teniendo inicialmente una pareja de conejos jóvenes en un sistema aislado, suponiendo que no moría ninguno. Y calculó cuántas parejas de conejos tendría al cabo de un año.
La evolución de la población de conejos será la siguiente:
Inicio: Una pareja de conejos jóvenes (1 pareja)
Primer mes: Una pareja de conejos adultos. (1 pareja)
Segundo mes: Una pareja de conejos adultos y otra de conejos jóvenes (2 parejas)
Tercer mes: Dos pareja de conejos adultos y otra de conejos jóvenes (3 parejas)
Cuarto mes: Tres pareja de conejos adultos y dos de conejos jóvenes (5 parejas)
Quinto mes: Cinco pareja de conejos adultos y tres de conejos jóvenes. (8 parejas)
El último mes se tendría 144 parejas de conejos. La sucesión será:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Puede observarse que en la sucesión de Fibonacci cada término es suma de los dos anteriores, es decir, que cumple que: F n+2 = F n + F n+1 .
Esta propiedad, que define la sucesión, fue descubierta hacia 1625 por A. Girard (1595-1632). Pero tenía muchas más propiedades en 1753 Robert Simson (1687-1768), profesor de la Universidad de Glasgow, reparó en que a pesar de que la sucesión era creciente y divergente, el cociente entre dos términos consecutivos se aproximaba cada vez más al número áureo, Esto es, que:
El rectángulo áureo y sus dimensiones también fue interpretado como la forma de dividir un segmento de longitud L en dos partes a y b, tal que a < b de forma que la parte menor, a, guarde con la parte mayor, b, la misma relación que guardan la parte mayor, b, con el todo, que es L = a + b. Es decir, la relación anterior:
Este modo de dividir un segmento en dos partes se denomina división de un segmento en media y extrema razón. Y la proporción de estas longitudes ha sido utilizada en arquitectura, en pintura, en escultura y en otras artes plásticas para conseguir composiciones bellas y armoniosas. La relación (1) se puede escribir :
Con la ecuación 𝛷2 = 𝛷 + 1 podemos calcular 𝛷 =1,16803398…. Pero también podemos escribir la sucesión recurrente:
Tomando aproximaciones sucesivas
Calculando aparece la sucesión de los cocientes de los términos consecutivos de la Sucesión de Fibonacci en la siguiente forma:
1 2 3/2 = 1,5 , 5/3 = 1,6666…,
8/5 = 1,6000… , 13/8 = 1,625 , 21/13 = 1,6153…, 34/21 = 1,6190…,
55/34 = 1,6176…. 89/55 = 1,6181…, 144/89 = 1,6179…, 233/144 =1,6180…,
que tiende al número áureo ϕ =1,16803398…,
