Se consideran los números de seis dígitos que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6
PROBLEMA 1.-¿Cuántos números se pueden formar permutando las cifras?
Respuesta: 6! = 720
PROBLEMA 2.- Si se ordenan en orden creciente ¿Cuál ocupa el lugar 362145?
R.: Realizaremos un proceso de cuenteo
Empezando por 1:Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 2, 3, 4,5, 6, es decir 5! = 120,
Empezando por 2:Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 1, 3, 4, 5, 6, es decir 5! = 120
Empezando por 31:Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 2, 4, 5, 6, es decir 4! = 24
Empezando por 32:Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 1, 4, 5, 6, es decir 4! = 24
Empezando por 34:Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 1, 2, 5, 6, es decir 4! = 24
Empezando por 35:Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 1, 2, 4, 6, es decir 4! = 24
Empezando por 361: Hay tantos números como permutaciones se puedan formar con 2, 4,5 , es decir 3! = 6
Empezando por 3621: 2! , que son 362145 y 362154. Y 362154 > 362145,
Por lo tanto 362145, ocupa el lugar:
120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 24 + 6 + 1 = 343
PROBLEMA 3.- ¿qué número ocupa el lugar 500?
Respuesta:
Empezando por 1: 5! = 120,
Empezando por 2: 5! = 120
Empezando por 3: 5! = 120,
Empezando por 4: 5! = 120
El último número de estos 480 primero números, es el número 465321 (faltan 20 para llegar al puesto 500). El siguiente de 465321 será 512346 (con las seis cifras de partida)
El número tendrá que empezar por 512346 con éste nos faltarán 20
Comenzando por 512— hay 6
Comenzando por 513— hay 6
Comenzando por 514 — hay 6
Comenzando por 516 hay 6 que son: 516234, 516243, 516324, 516342, 516423, 516432. Luego el número 516243 ocupa el lugar 500
PROBLEMA 4. ¿cuál es la suma de todos los números?
Respuesta : Con las cifras a, b c, d, e, f se pueden formar 720 ordenaciones.
Empiezan por a (centenas de millar) 5! = 120 números.
Empiezan por b c, d, e, f otros 120 números
La suma de todas las centenas de millar de los 720 ordenaciones será:
(a + b + c +..+ f)· 105·5!
Con un razonamiento análogo la suma de todas las decenas de millar será:
(a + b +c +..+ f)·104·5!
Repitiendo el método con millares, centenas, decenas y unidades, la suma será de todas las reordenaciones numéricas será:
(a + b +c +..+ f)·105· 5! + (a + b + c +..+ f)x104x5! + ·····+ (a + b +c +..+ f) x 5! =
Sacando factor común (a + b +c +..+ f)
(a + b +c +..+ f)·(105 + 104 + … +10 +1) x 5!
En nuestro caso la suma será:
(1+2+3+4+5+6)·111.111·120 = 21·111111·120 = 279.999.720
