PROBLEMA 1 .– Un grupo de amigos cena en un restaurante. A la hora de pagar cada uno aporta 15 €, pero comprueban que faltan 35 €. Entonces cada uno aporta 5 € adicionales, con lo cual les alcanza para pagar la cuenta y les sobra exactamente el 10% del costo de la cena (que le dejan como propina al mesonero). ¿Cuántos amigos eran? ¿Cuál era el monto de la factura?
Solución: Sea n el número de amigos. Entonces la factura fue 15n +35 €. Cuando aportan 5€ reúnen 20 €,
Con esa nueva aportación y sobran 20n − (15n + 35) = 5n – 35 €.
Esa cantidad es el 10% de la factura, por tanto, 5n − 35 = (15n+35)/10,
de donde: 50n – 350 = 15n + 35 ⇒ 35 n = 385 ⇒
⇒ eran 11 amigos y la factura 15·11 +35 = 200 €
PROBLEMA 2.- Ana y Bernardo juegan de la siguiente manera: Ana comienza diciendo un número entero del 1 al 10. Bernardo debe responder diciendo un número que sea mayor o igual que el doble y menor o igual que el triple del que dijo Ana. Ana a su vez debe responder con un número que sea mayor o igual que el doble y menor o igual que el triple del que dijo Bernardo, y así sucesivamente. Gana el que primero diga un número mayor que 100. Muestre que Ana siempre puede ganar este juego.
Solución: Observaciones:
- Si uno de los dos, en su turno, dice un número del 34 al 99, pierde pues el siguiente en jugar gana diciendo el triple.
- El que logre decir un número del 17 al 33 gana, pues obliga al otro a responder un número del 34 al 99.
- El que diga un número del 6 al 16 pierde, pues el siguiente puede responder con un número del 18 al 32.
Entonces Ana puede ganar comenzando con 3, 4 ó 5, ya que esto obliga a Bernardo a responder con un número entre 6 y 15
Si Ana comienza con 3, Bernardo debe responder con un número del 6 al 9, entonces Ana dice 18 y Bernardo debe decir un número del 36 al 54 y Ana gana diciendo 108.
Si Ana comienza con 4, Bernardo debe responder con un número del 8 al 12, entonces Ana dice 24, Bernardo debe decir un número del 48 al 72 y Ana gana
diciendo 144.
Si Ana comienza con 5, Bernardo debe responder con un número del 10 al 15, entonces Ana dice 30, Bernardo debe decir un número del 60 al 90 y Ana gana
diciendo 180.
Resumiendo: si Ana comienza con 1, 2, 6, 7, 8, 9 ó 10 entonces Bernardo le puede ganar.
PROBLEMA 3. Juan tiene un saco lleno de naranjas. A Pedro le regala la mitad de las naranjas más media naranja, a Luis le regala la tercera parte de las que le quedan más un tercio de naranja y a Armando la cuarta parte de lo que le queda más un cuarto de naranja. Al final, a Juan le quedaron 8 naranjas. ¿Cuántas naranjas tenía al principio? ¿Cuántas dio a cada amigo?
Solución . Si Juan tenía inicialmente x naranjas,
A Pedro le regaló: (x/2) +(1/2) = (x+1)/2 y le quedaron (x−1)/2.
A Luis le regaló (x−1)/6)+(1/3) = (x+1)/6 y le quedaron (x−1)/2−(x+1)/6 = (2x−4)/6 = (x−2)/3.
A Armando le regaló (x−2)/12+1/4 = (x+1)/12 y le quedaron
(x − 2)/3 − (x + 1)/12 = (3x − 9)/12 = (x − 3)/4 = 8 ⇒ x= 35
Por lo tanto Juan tenía inicialmente 35 naranjas,
Pedro le regaló (35 + 1)/2 = 18, a Luis (17 + 1)/3 = 6 y a Armando (11 + 1)/4 = 3.
PROBLEMA 4: El número de la casa de Juan es un número de tres cifras, si a este número le quitamos la cifra de las centenas resulta el número de a casa de Benjamín y si le quitamos, además, la cifra de las decenas queda el número de la casa de Clara, sabiendo que la suma de los números de las tres casas es 912
Solución: Consideremos el número de la casa de Juan como abc, al eliminar la cifra de las centenas (a) se obtiene el número de la casa de Benjamín, bc, es el número de la casa de Benjamín. Nuevamente al eliminar el primer dígito, (b), queda el número de la casa de Clara, c:
abc +bc +c = 912 ( 100a +2·10b + c + c + c = 912)
Luego para que c+c+c sea un número que forme el último dígito de 912, , tenemos dos opciones, que c+c+c = 2 o bien c+c+c =12. La primera opción es imposible, ya c es un número entero, por tanto c = 4. Notemos que al sumar un número mayor a 9, reservamos la cifra de las decenas para la siguiente suma, en este caso reservamos 1.
Ahora debemos realizar la suma b+b +1. Las posibles opciones son que b+b+1 sea 1 o bien que b+b+1 sea igual a 11, la primera opción no es posible ya que b es entero. Luego b = 5, entonces b + b +1 = 5 + 5 + 1 = 11. Por lo tanto, para b = 5. Y se tiene que b+b+1 es mayor que 9, asi reservamos la cifra de las decenas para la siguiente suma,
La Suma de las centenas será a+1 sea 9. Por lo tanto, a = 8.
Por tanto, las cifras buscadas son a = 8, b = 5 y c = 4. Siendo el número de la casa de Juan es 854 , por lo tanto, el segundo dígito del número de Ana 4.
PROBLEMA 5. Diego sumó dos números capicúas de cuatro cifras cada uno y observó que el resultado era otro número capicúa S, pero de cinco cifras, ninguna de ellas nula. Hallar todos los posibles valor es de .
Solución:
Cada sumando es, a los sumo, 9999, por lo cual la suma es, a lo sumo, 19998). Como S es capicúa, la cifra de las unidades será también 1, es decir, que S es de la forma 1xyx1.
abba + cddc = 1xyx1
Entonces a + c sólo puede ser 1 u 11. Pero si fuese 1, a o c serían 0 y uno de los sumandos no tendría cuatro cifras. Por lo tanto, a + c = 11.
Supongamos ahora que al sumar la cifra de las decenas no acarreamos nada , es decir que b + d + 1 < 10. En ese caso x = b+d+1 y, como en la tercera columna tampoco hay acarreo será y = b + d = x− 1.
Al sumar la cuarta columna vemos que x = 1, por lo tanto y = 0 y el resultado sería 11011, que tiene una cifra 0.
Al descartar esta posibilidad se debe tener entonces b + d + 1 ≥ 10. En ese caso al sumar la segunda columna se tiene b + d + 1 = 10 + x y, al sumar la tercera columna, se obtiene b + d + 1 = 10 + y, por lo tanto, x = y.
Al sumar la cuarta columna se tiene a + c + 1 = 12, es decir x = 2 y el resultado es 12221. En conclusión, Diego sólo pudo obtener como resultado S de su suma 12221.
PROBLEMA 6 . Hallar dos números reales positivos a y b tales que su suma a + b, su producto ab y la diferencia de sus cuadrados a2 − b2 sean iguales
Solución: Como: De a + b = a2 − b2 = (a + b)(a − b) ⇒ 1 = a − b, o a = b + 1.
Sustituyendo este valor en la igualdad: ab = a + b ⇒ (b + 1)b = 2b + 1, ⇒ b2 – b −1 = 0, por tanto:
La única raíz positiva de esta ecuación es b = (1+√5)/2, de donde. como a = b+1, a = (3 + √5)/2.
