Con el Teorema Chino de los Residuos se han planteado muchos problemas con diferentes enunciados. Aquí se recoge un problema con una redacción atractiva por lo que sugiere de aventura. Lleva el nombre de Problema del Cocinero Chino y se propuso en el oral CAPES (Oposiciones en Francia para Profesores de Bachillerato ) y está recogido en el libro de Bouvier, A. y Richard (1974) Groupes. Observation Théorie, Pratique, Ed. Hermann. Para resolverlo emplearemos un método inspirado en el que pudo usar el matemático chino Sun Tzi en el siglo III, que resumiremos en dos apartados:
- Si N ≡ r (mod a) y A ≡ 0 (mod a)], entonces se cumple que (N+A) ≡ r (mod a)
Lo que significa que si N da resto r al dividirlo entre a y A es múltiplo de a, entonces N+A da resto r al dividirlo entre a.
Ejemplo: Si 15 ≡ 3 (mod 6) y 18 ≡ 0 (mod 6) entonces 33 ≡ 3 (mod 6)
Igualmente, si a 15 le restamos múltiplos de 6, se obtienen 9 y 3 y 9 ≡ 3 (mod 6) y 3≡ 3 (mod 6).
2. Dados dos números enteros positivos a, b y c, que son primos entre si, es decir,
m.c.d. (a, b, c) = 1 .
Sea N = un múltiplo de a·b tal que N dividido entre c da resto r
Sea M = un múltiplo de b·c tal que M dividido entre a da resto r’
Sea P = un múltiplo de a·c tal que P dividido por b da resto r’’
Entonces:
Res. de [(N+M+P)/a] = Res. de [(N/a)]+Res. de [(M/a)]+Res. de [(P/a)] = 0 + r’ + 0 = r’
Res. de [(N+M+P)/b] = Res. de [(N/b)]+Res. de [(M/b)]+Res. de [(P/b)] = 0 + 0+ r’’ = r’’
Res. de [(N+M+P)/c] = Res. de [(N/c)]+Res. de [(M/c)]+Res. de [(P/c)] = r + 0+ 0 = r
EL COCINERO CHINO DE LOS PIRATAS
Una banda de 17 piratas consiguió en el abordaje a un galeón un botín formado por piezas de oro de igual valor. Decidieron repartirlo en partes iguales entre ellos y dar el resto al cocinero chino, que recibiría tres piezas de oro. Pero los piratas riñen entre ellos y mueren seis de en la reyerta, con lo que el cocinero, con la nueva situación recibirá seis piezas. En un naufragio ulterior solamente se salvan el botín, seis piratas y el cocinero chino que entonces recibiría cinco piezas de oro ¿Cuál será la fortuna que, como mínimo, conseguirá el cocinero cuando decida envenenar al resto de los piratas?
Solución: Si llamamos x al número de piezas de oro del botín de los piratas, x debe cumplir:
x ≡ 3 (mod 17) 2) x ≡ 6 (mod 11) 3) x ≡ 5 (mod 6)
Como 17, 11 y 6 son primos entre si, el problema tiene solución única módulo 17·11·6=1122
Procederemos como se indica en el apartado b)
De las congruencias 1) y 2): Buscaremos un N que sea un múltiplo de 17·11 = 187 que de resto 5 al dividirlo entre 6 (bastará con buscar entre los seis primeros múltiplos de 187 uno que dividido entre 6 de resto 5, que será 935.
187, 374, 561, 748, 935, 1122, 1309,
En efecto 935 = 155 · 6 + 5
De las congruencias 2) y 3: Buscaremos un entero, M que sea múltiplo de 66 = 6 · 11 que de resto 3 al dividirlo por 17, (bastará con buscar entre los dieciséis primeros múltiplos 66 uno que de resto 3 al dividirlo entre 17), que será 462.
66, 132, 198, 264, 330, 396, 462, 528, 594, 660, 726,792, 858. 924, 990, 1056
En efecto 462 = 27 · 17 + 3
De las congruencias 1) y 3): Buscaremos un entero, P múltiplo de 102 = 17 · 6 que de resto 6 al dividirlo entre 11. (bastará con buscar entre los once primeros múltiplos de 102 uno que de resto seis al dividirlo entre 11 ):
102, 204, 306, 408, 510, 612, 714, 816, 918, 1020
En efecto 204= 18 · 11 + 6
El posible botin de los piratas podría ser: x = N + M + P = 935 + 462 + 204 = 1601
Pero este botín no es el mínimo posible, ya que, por el apartado a) darían el mismo resto si le sumáramos o restáramos a la solución 1601 múltiplos de 17 · 11 · 6 = 1122.
Tambien serían posibles botines 2723, 3845, 4967, …. , pero la menor será 1601 – 1122 = 479
Todas las soluciones vendrán dadas por 479 + k · 1122 para k =1, 2, 3, …
El método usado para resolver un sistema de congruencias en este problema está en la base de la demostración del Teorema Chino de los Restos.
