Los orígenes de la Geometría están enraizados con el comienzo de la humanidad. Seguramente el hombre primitivo clasificaría, los objetos que le rodeaban según su forma, y serían formas picudas, redondeadas, onduladas, rugosas, simétricas, etc. Con la abstracción de las formas observadas aparecería el primer acercamiento, intuitivo e informal a unas formas definidas, quizás de modo impreciso, pero que fueron gestando los primeros objetos geométricos.
En el desarrollo de la Geometría fueron importantes algunas actividades muy cotidianas. Realmente, los problemas de matemáticas que aparecieron en los primeros documentos históricos, como el Papiro de Rind, fueron unas recetas de carácter práctico sobre repartos proporcionales o algoritmos para calcular áreas de parcelas y volúmenes de áridos.
La Geometría en Egipto tenía un interés práctico. Las inundaciones provocadas por el Nilo eran tan importantes para los egipcios que elaboraron su calendario en función de sus desbordamientos. Las crecidas del río, como el año egipcio, comenzaban en Julio, las aguas seguían creciendo hasta septiembre y en octubre el Nilo volvía a su cauce normal. Las inundaciones, que se debían al deshielo de las nieves de las montañas de África centro-oriental y al rebosamiento del agua de lluvia en los Grandes Lagos, tenían influencia no sólo en la agricultura, que fertilizaba las tierras, sino que también le dio a Egipto el nombre de Kemet, que significaba tierra negra, debido al color oscuro del limo depositado durante las inundaciones, color que chocaba con el rojizo del resto del territorio al que lo denominaban Desheret, tierra roja. De la palabra egipcia, desheret, deriva nuestra desierto.
Las inundaciones del Nilo borraban cada año los límites de los campos que cultivaban y, en el mes de octubre, era necesario volver a parcelar las huertas y hacer nuevos repartos de tierras. Los agrimensores egipcios redistribuían cada año las parcelas trazando otra vez sus lindes rectangulares sobre el manto de limo y para ello utilizaban una cuerda con doce nudos equidistantes con la que podían trazar en el suelo ángulos rectos, formando un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
LOS INMUTABLES OBJETOS MATEMÁTICOS
Las Matemáticas Egipcias eran una colección de problemas prácticos y de casos particulares sin conexión lógica entre ellos y lo mismo sucedía en la Matemática Babilónica. En general se ocupaban de problemas numéricos o geométricos extraídos la vida real. Pero parece indudable que, a partir de estas actividades, la Geometría evolucionó en Grecia hasta convertirse en una materia expuesta en forma axiomático-deductiva que la convirtió en una ciencia universal que ha mantenido su vigencia veinticuatro siglos.
La transformación no se produjo de la noche a la mañana. Tampoco cabe decir que el método axiomático se impuso porque las recetas y los resultados matemáticos se hicieron tan numerosos que fue preciso ordenarlos de alguna manera. El profesor Mariano Martínez Pérez propone un arranque de la transformación basado en la propia historia de Grecia, más o menos como sigue:
Del siglo IX al VII a. de C. se produjeron en Grecia unos cambios esenciales que llevaron a los griegos a poner en tela de juicio sus propias creencias, debido a que, al colonizar las costas del Mediterráneo, entraron en contacto con pueblos diferentes, con creencias distintas, que daban unas explicaciones de los fenómenos naturales diferentes a las que daban los griegos, pero cada pueblo pensaba que sus explicaciones eran verdades indiscutibles.
Como viajar abre la mente, los griegos comenzaron preguntarse ¿por qué iban a ser ciertos los mitos griegos y falsos los de todos los demás? Las reflexiones sobre las explicaciones de los diferentes fenómenos naturales por los diferentes pueblos del Mediterráneo les hicieron dudar de todos los relatos mitológicos de todas culturas y los llevarían a concebir la idea fundamental de que el mundo debía ser inteligible para la mente humana. Esta conclusión era el principio fundamental para buscar verdades necesarias e indiscutibles en el mundo real para que las ideas pudieran ser compartidas por todos los seres humanos.
Uno de los primeros problemas que estudiaron fue el del movimiento, que para Aristóteles era sinónimo de cambio o mutación. Se observaba que la realidad era algo en continuo proceso de cambio y que era imposible encontrar en el mundo observable algo que no cambiara o pudiera cambiar. Los primeros filósofos griegos (salvo quizás Heráclito) pensaron que la verdad no podía encontrarse en lo que cambiaba, sino que debía estar localizada en algo inmutable, que debía encontrarse debajo de las inconstantes y volubles apariencias. La labor del filósofo debía orientarse a buscar lo inmutable bajo ese mundo continuamente variable. Pero buscar la esencia de las cosas en terreno tan engañoso parecía imposible y aquí es donde aparecen las matemáticas.
Los filósofos griegos observaron que los objetos matemáticos eran unos elementos no sometidos al cambio. Los números y las figuras, que manejaban egipcios y babilonios, tenían esa propiedad tan importante: eran inmutables, ya que se mostraban a la inteligencia humana tal y como eran. Un círculo era lo que mostraba ser y su verdadera esencia se ofrecía directamente al observador.
LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN EN LA FILOSOFÍA GRIEGA
Entre los matemáticos griegos Thales de Mileto (624-546 a.C.) estuvo en Egipto y conoció los objetos matemáticos; igualmente Pitágoras (572-479) también viajó a Mileto, a Fenicia y a Egipto, e incluso algunos afirman que conoció la Babilonia de Cambises II, y allí aprendió la Aritmética y adquirió los conocimientos musicales de los sacerdotes.
En la Escuela Pitagórica las matemáticas se despegaron de la actividad práctica y se transformaron en una enseñanza liberal. Los Pitagóricos hicieron formulaciones abstractas de sus resultados, sin referencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos, como es el caso del Teorema de Pitágoras ,y demostraron relaciones conceptuales de muchos resultados no prácticos.
En esta primera fase de la historia de la Matemática Griega demostrar era hacer ver, es decir, visualizar, dibujar una figura con la que pudiera constatar la veracidad la proposición que se deseara probar. Así se recoge aparece en el Diálogo de Platon (427 – 347 a. C.) Menon en el que Sócrates ordenó a un esclavo, que no sabía Geometría, que duplicara un cuadrado y Platon dice en el Cratilo que por demostrar entendía el hecho de mostrar a la percepción visual. Las demostraciones visuales alcanzaban también a la aritmética donde, con la representación de los números poligonales, se podían demostrar mediante una figura resultados tan poco prácticos como los siguientes: la suma de dos números impares es par o que la suma de los n primeros números impares es n2.
El descubrimiento de magnitudes inconmensurables hizo perder la fe en las demostraciones matemáticas visuales. Cuando se descubrió que la diagonal del cuadrado no era conmensurable con el lado del mismo se produjo una profunda crisis en la Geometría. El que no existiera una unidad capaz de expresar a la vez la medida del lado y la diagonal con números enteros provocó el inesperado descubrimiento de que pudieran existir magnitudes tan raras. Este descubrimiento hacía tambalear la idea Pitagórica de que el número era el ente perfecto que gobernaba el universo. Las ideas especulativas los habían llevado a descubrir la existencia de magnitudes inconmensurables, cuando muchos filósofos, como los atomistas de Demócrito pensaban que, como la materia estaba formada por átomos indivisibles e iguales, cualquier pareja de magnitudes debía tener una medida común debían tener una medida, el diámetro del átomo y la dosctina pitagórica entraba en crisis, por haber llegado, por mediode la razón a una conclusión antiintuitiva,.
Este descubrimiento llevó a los Pitagóricos a un estado de desolación. Hasta el punto que, por considerarlo un desdoro, para la Escuela, decidieron mantenerlo en secreto para no mostrar la fragilidad de sus creencias. Pero el pitagóico Hipaso de Metaponto (n.500 a.C.) reveló el secreto fue castigado por la Hermandad Pitagórica
Las especulaciones libres sobre las medidas de las magnitudes llevaron al descubrimiento de los inconmensurables y las demostraciones visuales se hicieron insuficientes. Los filósofos griegos buscaron métodos de demostración satisfactorios como se pone de manifiesto en las diferentes escuelas filosóficas que se sucedieron.
En el siglo V a.C. Atenas alcanzó la cima de su esplendor, era el siglo de Pericles (594-429 a. de C.) y la política era la principal actividad. En este contexto aparecieron unos filósofos, llamados sofistas, que explicaban Astronomía, Geometría, Aritmética, Música o Pintura. Pero en sus argumentos no buscaban la verdad sino que trataban de enseñar una serie de recursos y habilidades para triunfar en la vida pública. Los sofistas estaban especializados, sobre todo, en la retórica. Casi todos mantenían que la verdad y la moral eran, en esencia, materias opinables. A sus discípulos les enseñaban, más que mantener argumentos y explicaciones puramente racionales encaminados a encontrar una verdad indudable, a elaborar explicaciones razonables aunque fueran de dudosa veracidad. Les enseñaban el arte de la elocuencia y formas de expresión razonables y persuasivas con las que podían presentar un hecho de formas diferentes.
Platon (427-347 a. C.) en su Academia, fundada en el 387 a. de C. dividía su plan de enseñanza en tres fases. En la primera, siguiendo a su maestro Sócrates, el maestro motivaba al discípulo, mediante de preguntas y observaciones para se liberara de errores y prejuicios para que pudiera percibir con claridad qué era lo que sabía y lo que no. Era el momento de la Docta Ignorancia. La segunda fase era la mayéutica que empezaba tras tener la mente dispuesta a captar el mundo sin prejuicios. En esta fase la razón debía llegar a una verdad universal. El maestro ayudaba al discípulo en su aprendizaje, que ya liberado de las creencias y los falsos saberes en la primera fase, se dirigía hacia el verdadero conocimiento.
Platón dejaba la dialéctica para hombres mayores de treinta años, de carácter estable y ordenado, que hubieran superado las dos fases anteriores y hubieran estudiado Aritmética, Geometría, Estereometría, Astronomía, y otras materias matemáticas que consideraba que eran conocimientos previos necesarios para la el estudio de la Dialéctica, para que pudieran arguentar rectamente..
Aristóteles (384-322) en sus Analíticos plasmó las pautas que debía cumplir todo razonamiento que busque la verdad, Definió la ciencia como el conocimiento demostrado a partir de las causas de las cosas y ese conocimiento se debía adquirir partiendo de premisas verdaderas mediante el razonamiento lógico silogístico. En esta concepción está la idea de sistema axiomático-deductivo. La veracidad del conocimiento dependerá de la certeza de las hipótesis y de la validez del razonamiento con el que se llegue a ese conocimiento.
LA NECESIDAD DEL MÉTODO AXIOMÁTICO
El método axiomático se impuso en Geometría para conseguir hacer razonamientos con conclusiones fiables.
Por ello se llegó a que para lograr un método seguro de demostración los conocimiento se debían ordenar se hace de forma lógica, El método que utilizó Euclides (326-265 a. de C.) fue presentar la Geometría en forma de cadenas deductivas, en las cuales se obtenían nuevos elementos a partir de otros anteriores. Y como no era posible retroceder infinitamente en la búsqueda de elementos anteriores en la cadena deductiva, era necesario elegir y fijar los elementos que deben ser los principios fundamentales de la teoría y, en el caso de los Elementos de Euclides se llamaron: Postulados y Nociones Comunes. Los postulados eran los principios propios de la Geometría y las Nociones Comunes eran principios compartidos por todas las ciencias.
El Libro I de los Elementos de Euclides empieza con veintitrés definiciones que definen objetos geométricos como punto, línea, línea recta, superficie, superficie plana, ángulo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo agudo, círculo y circunferencia, centro, diámetro, semicírculo, triláteros, cuadriláteros …. Tras las definiciones siguen los Postulados y las Nociones Comunes, que expondremos a continuación
POSTULADOS
Se postula que:
- Se pueda trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera.
- Y que se pueda prolongar indefinidamente una recta finita en línea recta.
- Y que se pueda describir un círculo con cualquier centro y distancia.
- Y que todos los ángulos rectos iguales entre sí.
- Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que los ángulos internos del mismo lado sean menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
NOCIONES COMUNES
1.- Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
2.- Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
3.- Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
4.- Y si a cosas desiguales se les añaden cosas iguales los resultados serán desiguales.
5.- Y los dobles de una misma cosa son iguales entre si
6.- Y las unidades de una misma cosa son iguales entre si
7.- Y las cosas que pueden superponerse entre sí son iguales entre sí.
8.- Y el todo es mayor que la parte.
Euclides realizó un esfuerzo colosal en la elaboración de sus Elementos, que convirtieron a la Geometría en una ciencia deductiva. Euclides culminó lo que era un siglo de esfuerzos en la axiomatización. Se tiene noticia de que Hipócrates de Quios (470-410) fue el primer geómetra que redactó un libro de Elementos. Aunque fue Euclides el que supo juntar en un cuerpo axiomático deductivo los trabajos de Teeteto (417-369 a. de C.) sobre los irracionales y la teoría de las proporciones de Eudoxo (390-337 a. de C.) sistematizando la Geometría. Pero su importancia radica en ser un sistema de conocimiento seguro que condujo a la matemática griega a un nivel teórico no experimentado hasta entonces por ninguna otra rama del saber científico.
