Las cuestiones de proporcionalidad directa e inversa ocupan un lugar destacado dentro de los problemas de la Aritmética Elemental. Bajo el nombre de repartos proporcionales, regla de tres, problemas de mezclas, problemas de móviles o de porcentajes se han redactado multitud de ejercicios, que han llenado los manuales de aritmética de todos los tiempos.
Isaac Newton (1643-1727) formuló, en su Arithmetica Universalis (1707), un curioso problema de proporcionalidad compuesta conocido como problema de los bueyes de Newton.
En los manuales de aritmética hay problemas fáciles como los siguientes:
Problema 1: Si cien vacas se comen el pasto de 20 Ha en un mes ¿Cuántas vacas se comerán 10 Ha de pasto en el mismo tiempo? Respuesta: 50 vacas (cada vaca consume 0,2 Ha de pasto al mes)
Problema 2: Si cien vacas se comen el pasto de 20 Ha en un mes ¿Cuántas vacas se comerán las mismas 20 Ha de pasto en 6 días? Respuesta:500 vacas (Proporcionalidad inversa)
Problema 3: Cien vacas se comen el pasto de 20 Ha en un mes ¿Cuántas vacas se comerán 40 Ha de pasto en 6 días? Respuesta: 1000 vacas (Una vaca consume 0,0067 Ha por cada día. Para comerse 40 Ha una vaca emplearía 6000 días, por lo tanto 6 vacas emplearían 1000 días).
Problemas como estos abundaban en las aritméticas elementales de mediados del siglo pasado. El problema propuesto en la Arithmetica Universalis de Newton tiene una variante interesante y dice lo siguiente:
Sabiendo que 75 bueyes se han comido en 12 días la hierba de un prado de 60 áreas y que 81 bueyes se han comido un prado de 72 áreas en 15 días, se pide ¿Cuántos bueyes se necesitan para comer en 18 días la hierba de un prado de 96 áreas? Se supone que en los tres prados la hierba tenía la misma altura y que la hierba continúa creciendo uniformemente.
La variante frente a los demás problemas es que es que la hierba sigue creciendo mientras los bueyes van comiéndose el pasto. A continuación exponemos la solución:
Solución: Llamemos a a la cantidad de hierba que hay en el prado cuando entran los bueyes a pastar y b a la cantidad que aumenta la hierba en cada área de superficie al día
Cantidad de hierba del primer prado en 12 días: 60(a+12b) (Para 75 bueyes)
Cantidad de hierba del segundo prado en 15 días: 72(a+15b) (Para 81 bueyes)
Cantidad de hierba del tercer prado en 18 días: 96(a+18b) (Para x bueyes)
Consumo diario de un buey del primer prado:
Consumo diario de un buey del segundo prado:
Consumo diario de un buey del tercer prado:
Como el consumo diario de los bueyes es el mismo, igualando (1) y (2):
Se obtiene a = 12b .
Igualando (2) = (3):
Sustituyendo a = 12b en la expresión anterior, llegamos a:
De donde, simplificando b, queda la solución x = 100 bueyes
