PROBLEMA 1. Dado un tetraedro regular de lado a calcula su altura.
RESPUESTA: La altura de una cara del tetraedro es: 𝒉𝒄 = a√3/2
La altura del tetraedro, h, que parte del vértice A cae exactamente sobre el baricentro (centro geométrico) de la base triangular. La distancia desde cualquier vértice de la base hasta el baricentro es dos tercios de la altura hc. Consideramos ahora el triángulo rectángulo interior al tetraedro formado por la arista lateral, AB = a, la distancia del baricentro al vértice de la base oB) y la altura del tetraedro h
h2 + ((2/3)·hc)2 = a2 ⇒ h2 = a2 – a2/3)2 = 2a2/3 ⇒ h = a√6/3 y V =a3√2/12
PROBLEMA 2.- Ángulo de las caras de un tetraedro regular de arista a.
RESPUESTA: Triángulo Dos alturas de dos caras que concurren en la misma arista. Utilizaremos el teorema del coseno en un triángulo
a2 = b2 + c2– 2bc cos α
Aplicado al triángulo isósceles ABM de lados a, a(√3/2), a(√3/2), obtenemos:
a2 = 2 a2(√3/2)2 -2 a2(√3/2)2cosα
1 = 2·3/4 (1-cos α) ⇒ 1=3/2 (1- cos α) ⇒
⇒ 2/3 = (1- cos α) ⇒ -1/3 = – cos α ⇒
⇒ 1/3 = cos α ⇒ α = arcos (1/3) = 70,53º
PROBLEMA 3. Dado un tetraedro regular de lado a calcular el radio de la esfera inscrita en él
RESPUESTA: El centro de la esfera inscrita es un punto O que equidista de las cuatro caras del tetraedro. La distancia es r. Si desde el punto O se trazan rectas a los cuatro vértices, el tetraedro queda dividido en cuatro tetraedros que tiene por base una cara del tetraedro y altura r y se cumplirá que:
Volumen del tetraedro = Area de una cara x altura
Volumen del tetraedro = 4 Area de una cara x r
Por tanto: Area de una cara x altura = 4 Area de una cara x r
Altura = 4r ⇒ h = a√6/3 = 4r ⇒ r = a√6/12
Observemos que el radio de la esfera inscrita es la cuarta parte de la altura del tetraedro
PROBLEMA 4. Dado un tetraedro regular de lado a, calcular el radio de la esfera circunscrita
RESPUESTA: El radio de la esfera, inscrita es la cuarta parte de la altura del tetraedro, por lo tanto, el radio de la esfera circunscrita será el triple del radio de la estera inscrito., es decir a√6/4
Observación: el volumen de la esfera circunscrita es nueve veces mayor que el de la esfera inscrita
PROBLEMA 5: altura de un apilamiento con base triangular de cuatro esferas del mismo tamaño de radio
RESPUESTA: Los centros de las esferas apiladas determinan un tetraedro de arista 2r.
En el problema 1 hemos visto que la altura de un tetraedro regular en función del lado es
h = a√6/3
Sustituyendo a por 2r h = 2r√6/3
La altura de la pila será la altura del tetraedro más dos radios:
h = 2r√6/3 + 2r = 2r[1 + √(2/3)]
