Para Aristóteles la demostración (apódeixis) se realizaba con el silogismo, un razonamiento deductivo, que partía de premisas verdaderas, primeras, anteriores y causales para llegar a una conclusión obligatoria, con la que se obtenía un conocimiento científico y necesario (episteme).
El silogismo aportaba conocimiento, que era algo más que una definición descriptiva concreta que delimitaba y encuadraba lo que era una cosa. La demostración explicaba por qué el objeto estudiado era necesariamente de esa manera y cuál es su origen o causa
La demostración de algo se basaba en unos principios indemostrables. Aristóteles explicaba que era necesario aceptar algo como indemostrable, porque no se podía demostrar absolutamente todo, porque se caería en una cadena infinita; por ello, la demostración se apoyaba en primeros unos principios evidentes o axiomas. De hecho, axioma procede de la palabra griega ἀξίωμα (axioma), que deriva del término axios que significa lo digno, lo valioso o la autoridad, Es una premisa básica que no podía (ni necesitaba) probarse dentro del propio sistema, pues intentar hacerlo conduciría a un círculo vicioso o a una petición de principio.
Los axiomas y postulados son el punto de partida obligatorio de toda argumentación y de cualquier ciencia. (por ejemplo, el principio de no contradicción o que el todo es mayor que la parte).
No obstante, en la tradición clásica, se distinguía entre el axioma, que era una verdad común y evidente para cualquier ciencia, y el postulado que eran suposiciones particulares de una disciplina específica (como el postulado de las paralelas en la geometría euclidiana).
Desde Euclides una demostración en las matemáticas era un razonamiento destinado a probar la veracidad de una afirmación partiendo de unos axiomas, postulados, definiciones y resultados previos. Los métodos más habituales de la demostración matemática son la demostración directa, la demostración contraposición y la demostración por reducción al absurdo.
Una demostración en física era algo diferente, puesto que la verificación de una teoría, ley o principio necesitaba experimentos, datos observables o hechos contrastables en la realidad.
La naturaleza, en principio, no tiene unos principios inamovibles que, tomados como axiomas permitan obtener los resultados del mundo físico mediante razonamiento lógico. Las demostraciones en física tienen un carácter empírico e inductivo y aunque se apoyan en modelos matemáticos, las demostraciones definitivas deben tener en cuenta su ajuste o concordancia con los datos del mundo real.
Los físicos utilizaban ecuaciones complejas, empleaban teorías matemáticas abstractas y expresaban sus resultados notaciones enrevesadas y conseguían resultados válidos desde el punto de vista lógico sobre el papel, pero la teoría física solo será válida si los experimentos y los hechos la corroboraban. Una teoría física nunca será indiscutible y definitiva y podrá ser reemplazada, corregida o ampliada por otra para dar cabida a la explicación de un fenómeno nuevo descubierto o a un experimento más preciso (la teoría de la gravedad de Newton fue ampliada por la relatividad de Einstein).
Las teorías físicas deben poseer consistencia interna, pero también se le pide que estén libres de contradicciones lógicas. Pero la coherencia lógica no basta. Se aceptará la teoría que posea mayor poder predictivo, que permita descubrir nuevos fenómenos. También debe ser coherente con el conocimiento previo. Si la nueva teoría contradice una teoría anterior bien establecida, la nueva teoría debe explicar por qué la teoría anterior funcionaba en ciertos límites (por ejemplo, cómo la relatividad general contiene a la mecánica clásica en velocidades bajas). La renovación o sustitución de las teorías físicas nos hace comprender mejor la naturaleza.
Sin embargo, ha habido grandes intentos de axiomatizar las ciencias físicas. Axiomatizar una teoría física consiste en estructurar sus leyes empíricas mediante un conjunto de enunciados lógicos y matemáticos básicos (axiomas o postulados) de los cuales se pueda deducir todo su contenido. Varias parcelas de la disciplina, como la mecánica clásica, termodinámica, la teoría de la relatividad o la mecánica cuántica se han se han axiomatizado y otras encuentran bastante formalizadas.
En el año 1900, el matemático David Hilbert (1862-1943) presentó una lista de veintitrés problemas para el futuro de la ciencia. El sexto problema pedía axiomatizar aquellas ciencias en las que las matemáticas juegan un papel importante, especialmente la física.
Actualmente este problema se considera parcialmente resuelto o en desarrollo continuo. El principal obstáculo actual es la gravedad cuántica: mientras no exista una teoría unificada comprobada, no será posible establecer un sistema axiomático definitivo para la totalidad de la física elemental.
La mecánica de Newton partía de tres axiomas básicos. Principio de inercia Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza neta externa, segunda ley o de la fuerza (La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él), la tercera ley de acción y reacción (A toda acción se opone siempre una reacción igual y contraria). Además, Newton aceptó como postulados ciertas propiedades del universo que más tarde la física moderna (teoría de la relatividad y la cuántica) reformularía. Estos postulados eran:
Postulado 1.- La masa de un cuerpo es invariable, es una propiedad intrínseca, independiente de la velocidad con la que se mueva un cuerpo.
Postulado 2.- El espacio es absoluto existe sin tener en cuenta nada externo, es un escenario inalterable e inamovible independientemente de los objetos que contenga.
Postulado 3.- Tiempo es absoluto fluye uniformemente en todo el universo, es igual para todos los observadores independiente del movimiento y la gravedad.
Postulado 4.- Determinismo todo suceso, acción o fenómeno está por determinado completamente por causas previas y por las leyes de la naturaleza, negando la existencia del azar. Si se conocen las posiciones y las velocidades iniciales de todas las partículas junto con las fuerzas que actúan sobre ellas, se puede predecir el futuro (o reconstruir el pasado) de forma exacta.
Los axiomas de Newton pueden cambiar por el principio de Mínima Acción es el axioma unificador más poderoso de la física teórica. El principio de mínima acción es un axioma-postulado y, por lo tanto, no se puede demostrar dentro de la teoría newtoniana. En 1744, P. L. Maupertuis fue quien primero lo enunció, la naturaleza es económica en todas sus acciones. El principio de mínima acción transformó la mecánica clásica newtoniana y en una estructura matemática definitiva y elegante gracias a la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana, fundamentadas por completo en el Principio.
Todos los sistemas físicos conocidos hasta ahora responden bien a este principio, El principio de mínima acción es un principio una gran utilidad, porque puede aplicarse tanto en la mecánica clásica que en la relativista.
Y ha permitido desterrar los postulados newtonianos, el espacio ya no es absoluto, el tiempo tampoco y la masa depende de la velocidad.
En lugar de describir el movimiento paso a paso, en cada punto mediante fuerzas (como Newton), este principio aborda el problema de forma global: una partícula o campo analiza todas las trayectorias posibles en el espacio-tiempo y elige aquella que optimiza una cantidad matemática llamada acción. Este enfoque es tan robusto que sirve para formular la mecánica clásica, el electromagnetismo, la relatividad general y la teoría cuántica de campos. Pero no es demostrable, es un principio casi metafísico, pero sus consecuencias envuelven a la mecánica newtoniana,
