Muchas líneas de investigación en los fundamentos de la Geometría surgieron en el siglo XVIII y cristalizaron en el siglo XIX. La riqueza de la nueva vida de la Geometría en el siglo XIX no se debió a una sola línea de investigación, sino a líneas diferentes que lograron una autonomía propia dentro de la Geometría. En este nuevo hábitat tenían cabida las discusiones sobre el concepto de espacio, sobre el papel de la propia Geometría y se hacía necesario revisar los fundamentos de la Geometría Euclidiana.
Una línea que se remonta a los albores de la Geometría griega es la del cuestionamiento del Quinto Postulado o Postulado de la paralelas. El neoplatónico Proclo (412-485) lo cuestionó porque las rectas paralelas podían ser asintóticas y acercarse más y más sin llegar a juntarse. En sus comentarios a los Elementos dice:
El quinto postulado Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmación de que cuando las rectas se prolongan más y más, se cortarán parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al carácter especial de los postulados.
Muchos matemáticos intentaron demostrarlo, pero partían de premisas que eran equivalentes al Quinto Postulado tales como que la suma de los ángulos de un triángulo fuera de 180º o que fuera posible construir triángulos de cualquier área semejantes a uno dado (Wallis, 1698).
Otra línea era comprobar si negar el Quinto Postulado llevaba a alguna contradicción lógica. Fue la que emprendió el matemático jesuita G. Saccheri (1667-1733) con el cuadrilátero que lleva su nombre razonando así: Sobre un segmento arbitrario AB se levantan dos segmentos perpendiculares a él de igual longitud, AD y BC, sin el uso del quinto postulado se demuestra que el ángulo C es igual al D. Entonces caben tres posibilidades que esos ángulos sean rectos, agudos u obtusos. Sacheri demostró que el postulado de las paralelas equivalía al caso de que los ángulos fueran rectos. Para la hipótesis del ángulos obtuso necesitaba que las rectas sean finitas, cuestión que consideró absurda y con el ángulo agudo no consiguió llegar a contradicción alguna. Fue precisamente la búsqueda de la contradicción lo que llevaría un siglo más tarde a al descubrimiento de las geometrías no Euclidianas.
A comienzos del siglo XIX, C.F. Gauss, Bolyai y Lobachevsky elaboraron la primera geometría no euclidiana, la geometría hiperbólica, poniendo como alternativa al Quinto postulado, el siguiente:
Por un punto P, exterior a una recta r hay más de una paralela.
Es una negación del Quinto Postulado. Como los demás postulados euclidianos parecieron evidentes, el conjunto de proposiciones que se podían deducir de ellos sin hacer uso del Quinto Postulado, a esta geometría se le llamó geometría absoluta, pensando que no podían existir más geometrías que las derivadas de los axiomas euclidianos. Como Euclides no utilizó el Postulado de las Paralelas hasta la proposición 29 del Libro I de los Elementos, las veintiocho proposiciones anteriores formarían parte de la geometría absoluta. La proposición 17 dice la suma de dos ángulos cualesquiera de un triángulo es menor de dos rectos, pero el Quinto Postulado añade que los ángulos de la base de una figura suman menos de dos rectos y que las rectas de se cortan y forman un triángulo. El teorema correspondiente de la geometría hiperbólica dice que la suma de los ángulos de un triángulo es menor de dos rectos.
El filósofo I. Kant (1724-1804) consideraba que el espacio euclidiano tridimensional era una forma a priori de nuestra mente para ordenar nuestro pensamiento. K.F. Gauss (1777-1855) se había convencido de que el teorema de las paralelas era indemostrable y llegó al convencimiento de que la Geometría era una ciencia del espacio físico creada por la mente humana y que se podían dar muchos modelos geométricos del espacio, pero que la forma y estructura del espacio las tenían que proporcionar la experimentación y la observación, en suma, la Física y la Astronomía.
Una forma diferente de entender la Geometría la proporcionó B. Riemann (1826-1866). La geometría tradicional daba por supuesto el concepto de espacio y los axiomas básicos para construir ese espacio. Riemann definió el concepto de variedad n dimensional como una magnitud en la que se podía determinar cada posición por un conjunto de n coordenadas. Razonaba que mientras que en el caso discreto se podían contar los elementos de dos intervalos y compararlos; en el caso del continuo se necesita una métrica externa para poder comparar magnitudes. La noción de métrica se define a partir de la distancia entre dos puntos A y B y cumple las siguientes propiedades:
- d(A, A) = 0
- Si d(A, B) = 0 entonces A = B
- d(A, B) = d(B, A)
- d(A, C) + d(C, B)≥ d(A, B)
Se pueden desarrollar geometrías con sólo las nociones de punto y de distancia. De aquí deriva la idea de que simplemente con nociones sobre magnitudes no se pueden determinar los conceptos de la Geometría y que las diferencias que puede tener el espacio euclidiano de otras magnitudes tridimensionales se deben obtener de la experiencia.
Por otra parte, la aparición de las Geometrías no Euclidianas marcó el comienzo de la metamatemática, de los estudios de la completitud y coherencia de los sistemas de axiomas. Había que asegurar que entre los sistemas de axiomas de las nuevas Geometrías no existían contradicciones lógicas aunque no hubiera sido descubierta todavía. En este sentido, fue importante la contribución de E. Beltrami (1835-1900) , en 1868, desarrolló un modelo de Geometría Hiperbólica dentro de la Geometría Euclidiana, por lo tanto, si la Geometría Euclidiana estaba libre de contradicciones también lo estaba la geometría hiperbólica.
En la segunda mitad del siglo XIX habían aparecido una serie de Geometrías no euclidianas que resultaban ser coherentes desde el punto de vista lógico y había superficies (variedades) modelos de estas geometrías como el disco de Poincaré y el de Klein-Beltrami. La fe en la verdad indudable del monolito euclidiano había desaparecido y había inseguridad sobre la coherencia de cada geometría entre tantas geometrías que podían definirse. Había geometrías más básicas que la Euclidiana en el sentido de que necesitaban menos axiomas. En la Geometría Absoluta no existía el Postulado de las Paralelas y no se hablaba ni de paralelismo ni perpendicularidad, en la Geometría Proyectiva no aparece el paralelismo y en la Topología ni siquiera se mantenía ni la noción de recta.
Pero si apareció la noción de que una geometría pudiera ser más básica que otra, si parte de menos principios básicos, aquí surge la idea de cuál es el criterio por el que por el que una familia de propiedades es más básica que otra. Pero todas las geometrías tenían un punto de partida común y debían tener algo con las que se pudieran estudiar conjuntamente. Esto lo aportó F. Klein (1849-1925) en el Programa de Erlangen (1872) donde manifestaba:
Mi interés iba dirigido, ya desde mi época de Bonn, [estudiante de Plücker de 1865-68] a comprender el conflicto entre las diversas matemáticas hostiles, las relaciones existentes entre varias líneas de trabajo, que, aun caminando una junto a otra, se nos presentan como aparentemente diferentes, siendo, sin embargo, semejantes en su esencia y transformar sus contradicciones con una interpretación global unitaria. Me parecía que, dentro de la geometría había mucho que hacer al respecto. (Wussing, p. 248)
Klein propuso la idea de que cada geometría estaba caracterizada por un grupo T de transformaciones. Y la Geometría se encargaba del estudio de las propiedades que no cambiaban por esas transformaciones. Y estableció el criterio de que una geometría G1 era menos básica que otra G2, si el grupo T1 es un subgrupo de T2 .
Ante la variedad de Geometrías aparecidas, David Hilbert (1862-1943) realizó una axiomatización de la geometría en su libro Fundamentos de la geometría (1899), que se considera como una de sus contribuciones más influyentes en la Geometría del siglo XX. La importancia de la obra no está en el descubrimiento de nuevos teoremas geométricos, sino en las ideas metodológicas del propio método axiomático, ya que su método fue uno de los primeros ejemplos, y seguramente el más influyente, del método axiomático formal.
La axiomática formal aportaba una nueva concepción de las teorías matemáticas que destacaba, más que el significado físico de las teorías, los aspectos formales de las mismas. Hilbert amplió el programa de Klein destacando el gran avance del matemático noruego S. Lie (1842-1899), que consideró grupos de transformaciones geométricas diferenciables. Y estimó que era necesario añadir a su axiomatización de la geometría el axioma que considerara que las variaciones de las transformaciones del grupo geométrico se debían realizar por pasos infinitesimales.
Una axiomatización tan amplia de la Geometría en la que tuvieran cabida todas ellas lo obligó a alejarse de los modelos físicos en que cada una de ellas fuera verdadera, por consiguiente, la nueva concepción formal del método axiomático tenía tras de sí una filosofía de la matemática. La geometría Euclidiana ofrecía una representación, un modelo del espacio físico, pero las nuevas geometrías, con pequeñas variaciones en los axiomas ofrecían diferentes modelos de espacio físico. Los modelos físicos no eran imprescindibles en la axiomatización de la Geometría. En la Geometría Proyectiva, que era la rama de la Geometría más dependiente de las construcciones geométricas, el matemático alemán G. von Staust (1798-1867) demostró que se podía exponer sin recurrir al concepto de distancia. Los que posibilitaba la subordinación de la Geometría Euclidiana a la Proyectiva.
Hilbert puso el acento en que la descripción y la organización de todos de los resultados geométricos se producían mediante la elaboración de un entramado de conceptos (postulados y axiomas) y optó dejar de lado los objetos geométricos y axiomatizar las relaciones entre objetos en lugar de los propios objetos geométricos.
Hilbert entendió que este entramado de conceptos no constituía una descripción directa o inmediata del espacio físico, sino que su sistema axiomático de la Geometría podía tener diversas interpretaciones o materializarse en diferentes espacios, pero siempre se deben verificarse los axiomas y entonces los teoremas serán válidos.
Cada sistema de objetos geométricos y de axiomas que describa completamente los fenómenos físicos será tan bueno como cualquier otro.
En la axiomática de Hilbert el entramado de relaciones lógicas entre conceptos no intentaba ofrecer una descripción directa del espacio físico y las relaciones lógicas sólo describirán algo real cuando se definan adecuadamente los objetos geométricos.
Los conceptos de puntos, líneas, recta o plano en la teoría geométrica de Hilbert no deben ser tomados como los objetos geométricos habituales, accesibles a la intuición geométrica.
