Canguro matemático, una competición que nació en Australia en el año 1978. Creada por matemáticos, y nació con la idea de transmitir la pasión por esta asignatura y con el afán de fomentar la resolución de problemas. Poca poco se fueron uniendo más países hasta completar 77 en la actualidad.
El concurso es una prueba tipo test en la que los participantes deben responder 30 cuestiones o problemas de índole matemática en una hora y media. Estos problemas tratan sobre distintos temas: números, álgebra, estadística, probabilidad, habilidades computacionales básicas, etc. Se requieren ideas inspiradoras, creatividad e imaginación, pensamiento lógico y diversas estrategias de resolución de problemas. Esta competición estudiantil cuenta con más de 6 millones de participantes.
PROBLEMA 1. Un prisma recto tiene 2026 caras. ¿Cuántas aristas tiene el prisma?
Solución. Observemos que si un prisma tiene 2026 caras, 2024 de ellas son caras laterales y las otras 2 caras son las bases del prisma. Por lo tanto, las caras laterales generan 2024 aristas laterales, y cada base, necesariamente, tiene una arista por cada cara lateral, luego cada cara basal tiene 2024 aristas, entonces las 2 caras basales generan 2 · 2024 aristas. Finalmente, el prisma tiene 3 · 2024 = 6072 aristas.
PROBLEMA 2. Sea f : R → R la función definida por las siguientes propiedades: f es periódica de periodo 5 y la restricción de f al intervalo [−2, 3] es x → f(x) = x2. ¿calcula f (2023)?
SOLUCIÓN. Como f es periódica de periodo 5, entonces f (x+5k) = f (x), para todo x real y k natural. por lo tanto, basta con lo siguiente:
f (2023) = f (−2 + 2025) = f (−2 + 5 · 405) = f (−2) = (−2)2 = 4
PROBLEMA 3. Los enteros positivos x, y, z satisfacen que x · y = 14 , y · z = 10 y que z · x = 35
¿Cuál es el valor de x + y + z?
Solución. Debemos encontrar x, y y z, tales que cumplan:
x · y = 14, y · z = 10, y z · x = 35.
Para ello comenzaremos por la primera condición;
- Como x y = 14, x e y son divisores de 14, por lo tanto, x e y pueden tomar los valores siguientes: 1, 2, 7, 14.
- Como y z = 10, y y z son divisores de 10, por lo tanto, y y z pueden tomar los valores siguientes: 1, 2, 5, 10.
- Como z x = 35, entonces z y x son divisores de 35, por lo tanto z y x pueden tomar los valores siguientes: 1, 5, 7, 35.
- En a) y b) , el valor que se repite entre las soluciones para y es 2 , por lo tanto elegimos y = 2.
En a) y c) el valor que se repite para x es 7, por lo tanto, elegimos x = 7.
En b) y c) el valor que se repite para z es 5, por lo tanto, elegimos z = 5.
Luego x + y + z = 7 + 2 + 5 = 14.
PROBLEMA 4. Juan enciende una vela cada diez minutos. Cada vela encendida tiene una duración de cuarenta minutos. ¿Cuántas velas están encendidas después de cincuenta y cinco minutos a partir del momento en que Juan enciende la primera vela?
Solución. Como una vela dura 40 minutos, y se enciende una cada 10 minutos, podemos realizar el siguiente análisis:
En el minuto 0 tenemos una vela encendida
En el minuto 10 encendemos otra vela, tenemos dos velas encendidas (a la primera le quedan 30 minutos).
En el minuto 20 encendemos la tercera vela, tenemos tres velas encendidas, (a la primera vela le quedan 20 minutos).
En el minuto 30 encendemos la cuarta vela, tenemos cuatro velas encendidas, (a la primera vela le quedan 10 minutos).
En el minuto 40 encendemos la quinta vela, tenemos cuatro velas encendidas (la primera vela se apaga).
Si seguimos el proceso, siempre habrá 4 velas encendidas, ya que si en el minuto 50 encendemos la sexta vela, se habrán apagado la primera y la segunda.
Luego en el minuto 55 estarán encendidas 4 velas.
PROBLEMA 5- Cuántos números naturales hay cuyo cuadrado sea menor que 10.000.
Solución:
Por tanto, hay 100 números.
PROBLEMA 6.- Cuántos números naturales hay cuyo cubo que sea menor que 10.000.
Solución:
1 ≤ n3 ≤ 10.000 ⇒ n ≤21,5443
Entre 1 y 10.000 hay 21 cubos.
PROBLEMA 7. Sea A el número de cuadrados entre los enteros 1 y 2013⁶. Sea B el número de cubos entre los mismos números. ¿Cuál es la razón entre ellos?:
Solución. ¿Cuántos números cuadrados hay de 1 a 2013⁶?
1 ≤ n3 ≤ 2013⁶ ⇒ n ≤ 20132
El número de cuadrados entre 1 y 2013 6 = (20133)2 es, claramente, 20133, es decir, A = 20133.
El número de cubos entre 1 y 20136 = (20132)3 es claramente 20132, es decir, B = 20132.
Por lo tanto, como 20133 = 2013 · 20132, entonces A = 2013 · B.
