PROBLEMAS DE NÚMEROS Y LA SUMA DE SUS CIFRAS-2

PROBLEMA 1.- Calcula la suma de los números de tres cifras diferentes que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5.

Solución:

Con esas cinco cifras los números de tres cifras que se pueden formar serán:

V_5,3 = 5·4·3 = 60.

De esos 60 números, como son cinco cifras, habrá 12 números con la cifra 1 en el lugar de las centenas, otros doce con la cifra 2 y otros doce con cada una de las restantes  y lo mismo ocurre con la cifra de las decenas y con la de las unidades. Por tanto, la suma de todos los números de tres cifras distintas será:

12 (1+2+3+4+5)·10² + 12(1+2+3+4+5)10 + 12(1+2+3+4+5) =

12 (1+2+3+4+5) (100+10+1) =12·15·101= 18180

PROBLEMA 2.- Calcula la suma de los números de tres cifras que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5.

1. a) ¿Cuántas tienen todas las cifras distintas?
2. b) ¿Cuántas tienen dos cifras iguales?
3. c) ¿Cuántas tienen tres cifras iguales?

Solución:

Con esas cinco cifras los números de tres cifras que se pueden formar serán:

RV_5,3 = 5³ =125.

Habrá 25 números con la cifra 1 en el lugar de las centenas, otros 25 con la cifra 2 y otras 25 con cada una de las restantes y lo mismo ocurre con el lugar de las decenas y de las unidades. Por tanto, la suma de todos los números de tres cifras será:

25 (1+2+3+4+5)·10² + 25(1+2+3+4+5)10 + 25 (1+2+3+4+5) =

25(1+2+3+4+5) (100+10+1) =25·15·101= 37875

PROBLEMA 3.-  Hallar un número N de cinco cifras diferentes que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras diferentes  que pueden obtenerse con las cifras de N.

Solución:

Supongamos que

N = abcde = a·10.000 + b·1.000 + c·100 + d·10 + e

es el número pedido con a distinto de cero, porque, en caso contrario, el número sería de cuatro cifras o menos y no tendría cinco cifras.

Como, con esas cinco cifras queremos formar números de tres cifras diferentes, hay

V_5,3 = 5·4·3 = 60.

posibilidades, de las cuales hay 12 que tienen una cifra determinada en una posición determinada.

Por tanto, tenemos que N será igual la suma de esos sesenta núneros:

N = 12(a+b+c+d+e )·100+12(a+b+c+d+e )·10+ 12 (a+b+c+d+e ) ·= 1332(a+b+c+d+e )

y por lo tanto:

N = 1332(a+b+c+d+e )

Como 1332 es múltiplo de 9,  N  también lo es y, utilizando el criterio de divisibilidad del 9, se tiene que la suma de sus cifras debe ser 9 o múltiplo de nueve, esto es:

a + b+ c+ d + e = 9t  (1)

y dado que todas las cifras son distintas entre sí, su suma estará comprendida entre:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15    y    5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

es decir:

15 =<  a + b + c + d + e =< 35  (2)

Por lo tanto, los únicos valores posibles de t  que cumplen a la vez (1) y (2) son t = 2 y t = 3.

• Si t = 2 entonces N = 1332 · 9 · 2 = 23976, y como la suma de sus cifras debe ser 18 y es 27 Þ El número 23976 no es solución de problema y, por tanto, no es el número buscado.
• Si t = 3 entonces N = 1332 · 9 · 3 = 35964 y, como 3 + 5 + 9 + 6 + 4 = 27 = 9 ·3, entonces N = 35964, que es la solución del problema.