La teoría de matrices es un claro ejemplo de una rama de las matemáticas elaboradas al margen de la intuición física y, a pesar de ello, la teoría de matrices fue utilizada para describir fenómenos naturales, de hecho, el lenguaje matricial fue una primera expresión de la mecánica cuántica de W. Heisenberg (1901-1976).
Las matrices son rectángulos de números con los que realizan unas operaciones de suma y producto semejantes a las operaciones numéricas. A continuación, reflexionaremos un poco sobre el punto de inflexión que supuso conceptualmente el Teorema fundamental del Álgebra y que puso de manifiesto la libertad de pensamiento en el quehacer matemático en el siglo XIX, rebasando el concepto de operaciones con números.
El Teorema fundamental del Algebra afirma que toda ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces en el cuerpo de los números complejos.
En 1746, J. D’Alembert (1717-1783) realizó el primer intento serio para demostrar el Teorema. Poco después, L. Euler (1707-1783) demostró que todo polinomio con coeficientes reales de grado n < 7, tenía exactamente n raíces compleja. Estas demostraciones tenían suposiciones que hacían que los matemáticos no las consideraran rigurosas. A completarlas se dedicaron los más grandes matemáticos del siglo XVIII. En 1772, J.L Lagrange (1736-1813) analizó las deficiencias de la demostración de Euler; en 1795, P.S. Laplace (1736-1813) trató de probar el Teorema, pero suponía la existencia de las raíces.
Un gran avance en la demostración se produjo en 1813, cuando J. R. Argand (1768-1822) publicó una demostración del Teorema, que ya había publicado de forma sucinta en Essai sur une manière de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques (1806), en la que interpretaba la unidad imaginaria, i , en forma geométrica como un giro de 90º en el plano. En 1816, C.F. Gauss (1777-1755) dio una demostración del Teorema y, en 1849, publicó la primera demostración del enunciado general para una ecuación algebraica de grado n con coeficientes complejos.
A esta demostración le siguió otra importante, en la línea de las ampliaciones numéricas; fue la expuesta en las lecciones de 1863 de C. Weierstrass (1815-1897), donde probaba el único que cuerpo (conmutativo) algebraico que contenía los números reales era el de los números complejos, C,
El Teorema fundamental del Álgebra completa una faceta de la historia del álgebra marcada por la aceptación de las diferentes ampliaciones numéricas. Y es que los números naturales aparecieron con la necesidad de contar, los números negativos que, aunque aparecieron magnitudes negativas en las contabilidades con el debe y el haber, surgieron en resolución de ecuaciones y se aceptaron en el gremio de los números con cierto recelo; R. Descartes, en su Geometría, llamaba a las raíces negativas soluciones falsas, pero las aceptaba como números negativos porque con un cambio de variable en la ecuación las raíces negativas podían transformarse en positivas. Por otra parte, las raíces de números negativos, es decir, los números complejos, también aparecieron al resolver las ecuaciones algebraicas y las operaciones con ellos mantenían las mismas reglas de cálculo y estaban relacionadas con los números reales. El matemático italiano Rafael Bombelli (1526-1572) estudió la ecuación x3 = 15 x + 4 de la que, fácilmente comprueba que tiene la solución sencilla x = 4. Pero con la fórmula de Cardano, que era válida para resolver las ecuaciones cúbicas, se obtenía otra solución,
en la que aparecía una suma de dos raíces cúbicas y la raíz cuadrada de un número imaginario. Bombelli. Aplicando las reglas adecuadas de suma y multiplicación, encontró que esa expresión era igual a 4, por lo que los complejos podían ser considerados números.
Pero con los números complejos se descubrió que los números tenían una propiedad nueva. El punto de vista geométrico del descubrimiento de Argand abrió al sistema de numeración una ventana a nuevas propiedades; los números complejos se llamaron así porque, en efecto, eran más complejos, tenían dos tipos de unidades (real e imaginaria), pero tenían una propiedad geométrica adicional y era que el producto de dos números complejos no sólo multiplicaba los módulos de los mismos, sino que, además, aportaba una propiedad geométrica que era un giro.
Por eso hubo matemáticos que, aunque conociendo, por el Teorema fundamental del Álgebra que no habría más números después de los complejos con las mismas propiedades, se aventuran en el estudio de otros elementos, como W. Hamilton (1805-1865) con los cuaterniones, que extendieran algunas propiedades de los números (como la propiedad geométrica de los números complejos), aunque sus operaciones no tuvieran las mismas propiedades. De hecho, los cuaterniones perdieron la propiedad conmutativa del producto de la que disfrutaban todos los números.
Los cuaterniones tenían la inspiración en los números complejos. Así como los complejos eran complejos porque tenían dos tipos de unidades los cuaterniones tenían cuatro tipos de unidades (una real y tres imaginarias). Pero un paso de rango superior se dio con las operaciones con matrices. Las matrices son cuadros (rectángulos) de números. Hamilton buscaba unos objetos matemáticos que realizaran en el espacio una función análoga a la que desempeñada por los números complejos en el plano. Pero lo de las matrices era más gordo, ¿qué significaba multiplicar cuadrados de números reales?, es decir, ¿qué significaba multiplicar matrices?
Es cierto que las matrices se han utilizado para representar movimientos geométricos en el plano y en el espacio (incluso en n dimensiones) y se habla de matrices aplicadas a la evolución de poblaciones, de matrices aplicadas a las ciencias sociales, de matrices input-output, o de matrices aplicadas a la economía o a la geografía, pero la noción de matriz fue perfilándose a partir de las investigaciones que se fueron haciendo en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
En la teoría de matrices y en su enseñanza está relacionada desde siempre con los determinantes. Pero la noción determinante apareció como regla para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, aunque desde los comienzos se representó como un cuadro de números, en realidad sólo representaba un número (el valor del determinante) y no se llegó a tener en cuenta el cuadro de números como un todo con individualidad propia hasta mediados del siglo XIX. A pesar de que el determinante, además de representar un número real, tenía una serie de operaciones entre filas o columnas o que lo mantenían invariante.
A G. Leibniz (1646-1716) se le ha atribuido el invento de los determinantes, a los que denominaba resultantes, seguramente, porque con ellos se expresaba la solución de un sistema de ecuaciones de forma compacta. Más tarde, C. Maclaurin (1698-1746) dedicó un capitulo de su Tratado de Algebra (1748) a la solución de sistemas de ecuaciones lineales de por el método de eliminación de incógnitas y en el capítulo siguiente expuso una solución alternativa mediante determinantes con el método que hoy conocemos generalmente como la Regla de Cramer.
En 1773 , P.S. Laplace (1749-1827) en Recherches sur le calcul integral et sur le systeme du monde generalizó los trabajos de E, Bezout (1735-1786) de A. T. Vandermonde (1730-1786) y G. Cramer (1704-1752), afirmando que, en general, los métodos de estos autores no eran operativos en sistemas con muchas incógnitas.
Los determinantes siguieron utilizándose con más o menos intensidad, pero no como cuadrado numérico, sino por el número que encerraban, que se podía calcular por la regla de Sarrus por el Método de Lagrange o por diagonalización mediante las operaciones entre filas o columnas que los dejaban invariantes.
El término determinante fue utilizado por primera vez C.F. Gauss (1777-1855) en Disquisitiones arithmeticce (1801) estudiando las formas cuadráticas. Pero los determinantes no eran solamente cálculo y el desarrollo de su historia nos permite observar su importancia en la concepción de matriz abstracta.
Fue A. Cauchy (1789-1857) quien en 1812 utilizó determinante en el sentido moderno. Cauchy comprobó y reelaboró los resultados anteriores sobre el tema, aportó nuevos resultados sobre menores y adjuntos de un determinante. Y demostró, por primera vez, el teorema sobre producto de determinantes También, en 1826, Cauchy usó el término tableau designar la matriz de los coeficientes de una forma cuadrática . Calculó los valores propios del tableau y probó algunos teoremas sobre diagonalización de una matriz en el contexto de convertir una forma cuadrática en suma de cuadrados.
Por otra parte, Jacques Sturm (1803-1855) extendió el problema de calcular valores propios para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Todos estos métodos implicaban manejar ciertas operaciones de los determinantes considerados como cuadrados de números, lo que superaba la idea de que un determinante representaba un solo número que permitía resolver un sistema de ecuaciones.
K.G. Jacobi (1804-1851) alrededor del 1.830 y luego L Kronecker (1823-1891) y C. Weierstrass (1815 – 1897) entre 1.850 y 1.860 también estudiaron las matrices como transformaciones lineales.
En 1858 A. Cayley (1821-1895) publicó Memorias sobre teorías de matrices en la que aparecía la primera definición abstracta de matriz y demostró que los tableaux, los arreglos de coeficientes utilizados en el estudio de formas cuadráticas y las transformaciones lineales eran casos especiales de su concepto general de matriz. Cayley definió algebraicamente las distintas operaciones matriciales: adición y multiplicación de matrices, dio el método de calcular la inversa de una matriz cuadrada en términos del determinante.
Cayley tomó la definición de producto de matrices de la representación del efecto de dos transformaciones sucesivas. Y definió que una matriz m x n (m filas y n columnas) puede ser multiplicada solamente por una matriz n x p (n filas y columnas)
M m,n (R) x M n,p (R) = M m,p (R)
Enunció el conocido teorema de Cayley–Hamilton, que era uno de los primeros resultados no triviales sobre matrices que dice que, toda matriz anula a su propio polinomio característico, es decir:
Si PA (x) = det (xI – A), entonces PA (A) = 0
Aunque Cayley, en 1858, solo demostró el teorema para matrices cuadradas de orden menor o igual que tres; cuando F. G. Fröbenius (1847-1917) realizó la demostración general para una matriz cuadrada cualquiera le atribuyó a Cayley la prioridad de la obtención del resultado.
Las matrices permanecieron en el campo de la matemática abstracta, sin aplicaciones a las ciencias físicas, hasta que Heisenberg las aplicó en la Mecánica Cuántica. A partir del siglo XX es rara la rama disciplina científica que no use la teoría de matrices. Desde comienzos del siglo se publicaron importantes libros de libros que cimentaban la teoría de matrices dentro de la matemática pura tales como Introducción al Algebra superior (1907) de M. Bôcher (1867-1918), a los que siguieron los libros de H. Turnbull (1885-1961) La teoría de los determinantes, matrices e invariantes (1928), y el de A. Aitken (1895-1967) Determinantes y matrices (1939), que fueron los textos más influyentes en este campo a mediados del siglo XX. La teoría de matrices se convirtió en uno de los tópicos más importantes de la llamada matemática abstracta y fue un producto mental elaborado al margen y, sin estar hecha a medida de ningún fenómeno natural se fue introduciendo en el estudio de la física y se utilizó en muchos campos de las ciencias naturales
