El azar presenta situaciones curiosas. Cuando estamos perdidos en un lugar desconocido seguimos un camino y llegamos una bifurcación, si no tenemos ninguna referencia, por pequeña que pueda ser, carecemos de sistema de orientación y nos decidimos por uno u otro camino, aceptamos que tenemos una probabilidad de acertar 0,5. Esto con el lanzamiento de una moneda y, en general, cuando nos enfrentamos a dos sucesos que se nos muestran igualmente probables.
En este artículo presentamos una estrategia para mejorar el grado de incertidumbre y poder mejorar la probabilidad de elección en algunos casos. Sabemos que:
a) Si calculamos probabilidad de elegir un número entero impar menor que 10, elegimos entre 9 números enteros y la probabilidad de la elección 5/9
b) Probabilidad de elegir un número real positivo entre 2 y 7 menor que 10. Será (7-2)/(10-0) = 5/10 = 1/2
Pero vamos a describir una situación en la que se puede mejorar la probabilidad de elección: Planteamos un juego que consiste en escribir dos números distintos en sendas tarjetas y elegimos una de ellas (el número puede ser un número real cualquiera). Si la tarjeta contiene el número mayor ganamos y, en caso contrario, perdemos. Evidentemente, como la elección de cada tarjeta se realiza completamente al azar, la probabilidad de ganar es 0,5.
El teórico de la información y profesor de la Universidad de Stanford Thomas M. Cover (1938–2012) dedicó buena parte de su actividad investigadora a estudiar las relaciones entre la teoría de la información y la estadística y propuso una variante de la cuestión probabilística de las tarjetas en la que jugaba un papel importante la información previa. Con lo que se conseguía que la probabilidad de elegir el número mayor número fuera mayor que 0,5.
- Sea x el número escrito en una carta e y escrito en la otra carta.
- Planteamos la siguiente estrategia: Pienso un número eral a cualquiera, descubrimos una carta y el número será x, es menor que a, elegimos y ¿Por qué esta estrategia es mejor que la elección simple al azar?
Evidentemente se pueden dar estas tres posibilidades
- mín {x,y} < máx {x,y} < a con probabilidad p1
- mín {x,y} < a < máx {x,y} con probabilidad p2
- a < mín {x,y} < máx {x,y} con probabilidad p3
Observemos que p1 + p2 + p3 =1
Primer caso: Mostramos x, como x < a elegimos y. Si x < y ganamos y si x > y perdemos. Luego acertamos el mayor entre x e y con probabilidad 0,5, 0,5· p1.
Segundo caso: Mostramos x, si x < a elegimos y si x > a se aceptamos x y ganamos. En ambos casos Gano siempre con probabilidad p2
Tercer caso: Mostramos x, evidentemente x > a. Elegimos x y ganamos
La probabilidad de ganar será la suma de las probabilidades de los tres casos anteriores, mutuamente excluyentes, es decir:
0,5·p1 + p2 + 0,5·p3 = 0,5·p1 + (0,5 p2 + 0,5·p2) + 0,5· p3 =
= 0,5·(p1 + p2 + p3) + 0,5 p2 = 0,5· 1 + 0,5 p2 > 0,5
Nota: Problema explicado en el número 47 de la revista SUMA, en artículo publicado en Noviembre de 2004 por Thomas Bruss y titulado Como jugársela a la incertidumbre
