Existen infinitos cuadrados mágicos 3×3 formados por números enteros positivos. En el siguiente ejemplo mostramos un patrón de cuadrado mágico a partir del cual se pueden generar multitud de cuadrados mágicos sin algunas de las propiedades que tenía el cuadrado mágico primitivo y tradicional formado por las cifras {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Así, a partir de siguiente modelo,
para a = 8, b = 4 y c = 3, se obtiene el cuadrado mágico:
Pero si nos preguntamos cuantos cuadrados mágicos diferente formados con los mismos números se pueden formar la respuesta es diferente. Para analizarla recordemos que en el artículo anterior concluimos que en el cuadrado mágico 3×3 formado por las cifras {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, el 5, necesariamente, debía ocupar el centro, que los números pares ocupaban los extremos de las diagonales y que los extremos de la columna central y de la fila central lo ocupaban los números pares. Veremos que se pueden realizar ocho disposiciones diferentes, que se muestran a continuación:
En el cuadrado mágico 3×3 el 5 ocupa el centro, los números pares ocupan los extremos de las diagonales y los impares que ocupaban los externos de la columna central y de la fila central. Lo que nos lleva a considerar que si colocamos los pares en el cuadrado 3×3, los impares vienen obligados: El 8 tiene cuatro posibilidades (las cuatro esquinas), Tengamos en cuenta que el 5 está ocupado y el dos, opuesto en la diagonal, no tiene más que una posibilidad. Por tanto, al seis le que quedarán dos posibilidades en las dos esquinas restantes el cuatro viene obligado por tanto tenemos 4x1x2x1 = 8 posibilidades para colocar los cuatro pares en el cuadrado. Cada uno de los impares viene obligado para que cada una de las fila y columnas sume 15.
Este concepto, puramente aritmético, está relacionado con un concepto geométrico que es el grupo de transformaciones que describe todas las transformaciones (movimientos) que dejan un cuadrado indistinguible de su forma original. Este grupo, se conoce como el grupo diédrico del cuadrado, D4, que incluye cuatro rotaciones (de 0°, 90°, 180°, 270°) y cuatro reflexiones (dos simetrías axiales cuyos ejes pasan por los centros de lados opuestos y otras dos simetrías axiales de ejes las dos diagonales.
El giro de 90º en sentido horario en torno al centro de coordenadas lo designamos por a, a2, a3, serán los giros de 180º y 270º y a4 será el giro de 360º, que es la identidad.
La simetría axial de la diagonal principal la llamaremos b y cumple que : b2 = id (e), ab simetría de eje horizontal, a2b = simetría de eje diagonal secundaria a3b = simetría de eje vertical.
Puede comprobarse que las cuatro rotaciones (de 0°, 90°, 180°, 270°) y cuatro reflexiones, se pueden expresar G ={id= e, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b} y son los ocho únicos movimientos que dejan al cuadrado invariable puesto que cualquier composición entre dos de movimientos de G da un elemento de G. Puede comprobarse en la tabla siguiente:
