JUGANDO CON LA SUMA DE POTENCIAS DE NÚMEROS CONSECUTIVOS

LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS n PRIMEROS ENTEROS

Para calcular la suma de los primeros n cuadrados partiremos de  partiremos de la identidad  numérica: 

n³ – (n-1)³ = 3n² – 3n + 1 a la que daremos valores desde n hasta 1

n³ – (n-1)³ = 3n² – 3n + 1

(n – 1)³ – (n – 2)³ = 3(n – 1)² – 3(n -1) + 1

(n – 2)³ – (n – 3)³ = 3(n – 2)² – 3(n -2) + 1

…….

                                                                              3³ – 2³ = 3·3² – 3·3 + 1

                                                                                 2³ – 1³ = 3·2² – 3·2 + 1

                                                                                 1³ – 0³ = 3·1² – 3·1 + 1

Sumando miembro a miembro, simplificando y llamando S_n2= (1² + 2³ + … + n²)

n³ = 3 (1² + 2³ + … + n²) – 3 (1 + 2 + … + n) + n   ⇒

⇒   n³ = 3 S_n2 – 3 n(n+1)/2 + n   ⇒   3 S_n2 = n³ – n + 3 n(n+1)/2    ⇒

⇒    3 S_n2 = n (n + 1) + (n – 1 + 3/2) = n (n + 1) + (2n – 1)/2   ⇒

PROBLEMA 1.- Demostrar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales dividida por la suma de esos números es igual a la tercera parte del producto de la suma del último número, n , por su siguiente, n + 1.

Respuesta:

PROBLEMA 2.- Calcula 1·2 + 2·3 + 4·5+ … + n(n+1).

Respuesta: Escribamos 1·2 + 2·3 + 4·5+ … + n(n+1)  en forma de sumatorios:

PROBLEMA 3: Demuestra que  p (p + 1)(2p+1) es divisible por 6 para todo valor de p

Respuesta 1 : Basta con tener en cuenta la relación:

La suma de los cuadrados es un entero, por tanto, p (p + 1)(2p + 1)  tiene que ser necesariamente múltiplo de 6.

Respuesta 2: Aplicaremos el método de inducción:

                         Que la propiedad p (p + 1)(2p + 1)  es múltiplo de 6

•  Se verifica para p = 1, ya que 1·2·3 = 6
• Supongamos que se cumple para un valor cualquiera p, esto es:  p(p+1)·(2p+1) = es múltiplo de seis

Es decir que p(p+1)·(2p+1) = (p²+p) (2p+1) = 2p³ +3p²+p = (1) es múltiplo de 6

• Comprobemos que también es múltiplo de 6 para p + 1, es decir que (p+1)(p+2)·(2p+3) es múltiplo de seis:

(p+1)(p+2)·(2p+3) = (p+1)(2p²+7p +6) =

= 2p³ + 9p² +13p + 6 =

Separando en dos sumandos:

(2p³ +3p²+p) + 6p² +12p + 6 = (1) + 6(p² +2p + 1) =

= (2p³ +3p²+p) + 6(p² +2p + 1) = suma de dos múltiplos de seis y, por tanto, para p +1, (p+1)(p+2)·(2p+3) es múltiplo de seis

PROBLEMA 4.- Si p es primo con 6 la suma de los cuadrados de p enteros consecutivos cualesquiera es divisible por p

Respuesta: Sean los números n+1, n+2, …. (n+p) siendo n cualquier número natural

(n+1)² + (n+2)² + (n+3)² + … + (n+p)² =

=  pn² + (2 + 4 + 6 + …  + 2p)n + (1² + 2² + …+ p²)=

=  pn² +  2n(1 + 2 + 3+ …   + p) + (1² + 2² + …+ p²)=

=  pn² +  2n(1 + 2 + 3 + …  + p) + (1² + 2² + …+ p²) =

= pn² + np(p+1)+ (1/6) p(p+1)(2p+1) =

= p [n² + n(p+1)]+ (1/6)p(p+1)(2p+1)

El primer sumando es múltiplo de p. El segundo sumando también lo será, ya que es un número entero y 6 no divide a p, puesto que p y 6 son primos entre si y necesariamente 6 dividirá a (p+1) o a (2p+1).

PROBLEMA 5.-  Demostrar que  

Respuesta: Se verifica fácilmente  que: se cumple para n = 2, ya que ( 1³ + 2³) = (1 + 2 )²

Aplicaremos el principio de inducción:

• • Supongamos que se cumple que para un valor n : ( 1³ + 2³ + … + n³) = (1 + 2 + … + n)²
  • Demostraremos que se cumple para n+1:

((1³ + 2³ + … + n³ )+ (n+1)³) = (1 + 2 + … + n + (n+1))²

lo que implica que (partiendo del primer miembro).