PROBLEMA 1:En dos sistemas cuyas bases difieren una unidad, un mismo número se escribe 51 y 44. Hallar dichas bases y escribir el número en el sistema decimal
Solución:
Supongamos que 51 está expresado en base B y 44 está expresado en base B+1:
X(10 = 5B +1 = 4(B +1)+ 4
⇒ B = 4 +4 -1= 7 ⇒ B = 7, B+1 = 8 y el número buscado es
X(10 = 5·7 +1 = 36 = 4·8 + 4 = 36
PROBLEMA 2: Hallar la base en que están escritos los números 792 y 143, sabiendo que su suma en base decimal es 1303
Solución: Sea B la base buscada:
792(B + 143 (B = (2 + 9B + 7B2) + ( 3 + 4B + B2) = 1303 ⇒
⇒ 8B2+ 13B +5 = 1303 ⇒ 8B2 + 13B – 5 = 1308 ⇒
⇒ 8B2 + 13B – 1298 =0 ⇒ B=12
PROBLEMA 3: Se dispone de un juego de pesas de 1, 2, 4, 8, 16, 32,…gramos (una de cada peso) para pesar un boque de 300 gramos utilizándolos dos platillos de una balanza ¿Qué combinación de pesas utilizaré?
Solución: Basta con expresar 300 gr, que está en base decimal, en base 2:
300 = 2·150 + 0, 150 = 2·75 + 0 75 = 2 ·37 + 1 37 = 1·18 +1
18 = 2·9 + 0 9 = 2·4 +1 4 = 2·2 + 0 2 = 2 ·1 + 0
300(10 = 100101100(2
Una de 4 gr, una de 8 gr, otra de 32 gr y otra 256 gr
PROBLEMA 4. Ocho sobres sin marca alguna en el exterior contienen los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Eva elige unos cuantos sobres al azar, y su compañera Alicia toma los que quedan. Ambas suman los números que hay dentro de los sobres. La suma de Eva es 31 unidades más que la de Alicia. ¿Cuántos sobres tomó Eva?
Solución: Sea E la suma de los números de los sobres de Eva y A la suma de los números de los sobres de Alicia, luego se cumple que E = A + 31
Evidentemente E + A = 1 + 2 + 4,+ 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 y
2A+ 31 = 255 ⇒ 2 A= 224 ⇒ A = 112 es la suma de los sobres de Alicia.
Por tanto, la suma de los números de los sobres de Eva será 143.
Calcularemos los sobres que ha cogido a Alicia. Bastará con expresar 112 en base 2 :
112 = 2·56 + 0 56 = 2·28 + 0 28 = 2·14 + 0
14 = 2·7 + 0 7= 2·3 + 1 3= 2·1 + 1
Como 112(10 = 1110000(2 , Alicia toma tres sobres de 16, 32, 64 …
Eva tomó los cinco sobres con los números 1, 2, 4, 8, 128, pues no hay otra suma con resultado 143.
PROBLEMA 5.- Tengo un juego de pesas (una de cada peso de 1, 3, 9, 27, 81, … gramos y quiero pesar en una balanza un peso 500 gramos utilizando los dos brazos, ¿Qué pesas debo utilizar?
Solución. Para expresar un número en base tres, en general, se necesitan tres dígitos 0, 1, 2
500 = 3·166 + 2 166 = 3·55 +1 55 = 3·18+ 1
18 =3·6+ 0 6 = 3·2 + 0 2 = 3·0 + 2
500(10 = 200112(3
Se necesitarán dos pesas de 243, una de 9, otra de 3 y 2 de 1.
Pero utilizando los dos platillos de la balanza, podemos evitar utilizar dos pesas del mismo peso, realizando una división y calculando los restos por exceso, (restos negativos). Usaremos un “binario con signos”
500 = 3·167 – 1 167 = 3·56 – 1 56 = 3·19 – 1
19 = 3·6 + 1 6 = 3·2 + 0 2 = 3·1 – 1
1-101-1-1-1(3
Dos pesas una de 729 gr y otra de 27 gr (Suman 756 gr) en el platillo izquierdo.
Cuatro pesas -1gr, -3gr, -9gr, -243gr (Suman -256 gr) , en el platillo derecho.
Podemos pesar 500gr, colocándolos en el platillo derecho para equilibrar los platillos.
