PROBLEMA 1. Dado un triángulo equilátero de lado a calcula su altura.
RESPUESTA: En triángulo equilátero ABC. Tomemos el lado AC como base y sea BR su altura correspondiente. El triángulo ARB es rectángulo en R y se verifica que AB2 = AR2 + BR2
a2 = (a/2)2 + h2 ⇒ h2 = a2 – a2 /4 ⇒ h2 = 3 a2 /4 ⇒
h = a (√3 /2)
PROBLEMA 2. Dado un triángulo equilátero de lado a calcula el radio de su círculo inscrito
RESPUESTA: EL centro O del circulo inscrito será tangente a los tres lados del triángulo equilátero ABC y equidistará de los tres y, por tanto: OP = OQ = OR = r.
En la figura se puede observar que:
Área de AOB = Área de BOC = Área de COA
Y que Área de ABC = Área de AOB + Área de BOC + Área de COA, por tanto
Área de ABC = 3Área de AOB ⇒ a·h/2 = 3 a·r/2 ⇒ r = h/3 ⇒ r = a√3/6
PROBLEMA 3. Dado un triángulo equilátero de lado a calcula el radio de su círculo circunscrito
RESPUESTA: Sea el triángulo ABC dividido en cuatro partes iguales por las paralelas medias A’B’, B’C’ y C’A’, por las que el triángulo ABC queda dividido en cuatro triángulos equiláteros de igual área A’B’C’, A’B’A, C’A’C, B’C’B. La razón de semejanza de éstos triángulos con ABC es 1/2.
En la figura podemos observar que el radio del circulo circunscrito al triángulo pequeño A’B’C’ es igual al radio circulo inscrito al inscrito del triángulo ABC. Por tanto en un triángulo equilátero el radio del círculo circunscrito es dos veces el radio del inscrito r = a√3/3
PROBLEMA 4. Dado un triángulo de lado a calcula el radio de cada uno de los tres círculos iguales inscritos en él y siendo los tres círculos tangentes entre si dos a dos
RESPUESTA: Expresaremos la longitud del lado, a ,en función del radio del círculo, r:
a = AM + MN + NC =
El ángulo OAM es de 30º y tg 30º = 1/√3, por lo tanto,
a = r/tg 30 + 2r + r/tg 30 = 2r(1 +1/t30º) = 2r(1+√3)
r = a/2(1+√3) = a(1+√3)/(-4) = a(√3 -1)/ 4
PROBLEMA 5. Dado un triángulo de lado a calcular el área del triángulo curvilíneo central limitado por los tres los tres círculos tangentes entre si dos a dos del ejercicio anterior
RESPUESTA: Utilizaremos resultados de los ejercicios anteriores:
Lado del triángulo ABC es a
Lado del triángulo pequeño a(√3 -1)/ 2 (Problema 4)
Razón de semejanza (√3 -1)/ 2 = Rs (cociente de los lados homólogos)
Razón entre las áreas (4-2√3 )/ 4 = (2-√3)/2 = (cuadrado de la razón de semejanza)
Área del triángulo ABC = a·h/ 2 ⇒ a2 (√3 /4) = AT
Área del triángulo OPQ = AT · Rs · a2 (√3 /4) (2-√3)/2 = a2 (√3 (2-√3)/8 = a2 · [2√3) – 3]/8
