¿Cuántos cuadrados se pueden contar en un cuadrado 8×8 formado 64 cuadrados de lado la unidad?
Cuadrados de lado 1: Cada cuadrado de lado unidad puede, recorrer ocho posiciones en la línea horizontal y, por cada posición horizontal, ocho en posición vertical. En total 82 = 64.
Cuadrados de lado 2: Cada cuadrado de lado de lado 2 puede ocupar siete posiciones en la línea horizontal y, por cada posición horizontal, siete en posición vertical. En total 72 = 49
Cuadrados de lado 3: Cada cuadrado de lado de lado 3 puede ocupar seis posiciones en la línea horizontal y, por cada posición horizontal, seis en posición vertical. En total 62 = 36. … Siguiendo el mismo método:
Total de cuadrados: 82 + 72 + 62 + ··· + 12 = 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204
CUADRADO DE LADO n : El número total de cuadrados en un cuadrado de lado n será:
n2 + (n-1)2 + (n-2)2 + ··· + 22 + 12
En http://vicmat.com/suma-los-cuadrados-los-numeros-naturales-numeros-piramidales/ puede verse la deducción de la fórmula;
Un problema análogo en tres dimensiones:
¿Cuántos cubos se pueden contar en un cubo 8x8x8 formado 512 cubos de arista la unidad?
La estrategia para contarlos en un cubo de lado 8 es la siguiente:
Cubos de lado 1: 64 cubos en la sección inferior y, por cada uno de ellos ocho iguales en vertical, en total 64 ·8 = 83
Cubos de lado 2: 49 cubos en la sección inferior y, por cada uno de ellos, siete iguales en vertical, en total 49·7 = 73
Cubos de lado 3: 36 cubos en la sección inferior y, por cada uno de ellos, seis iguales en vertical, en total 36·6 = 63
….
Cubos de lado 6: 9 cubos en la sección inferior y, por cada uno de ellos, tres iguales en vertical, en total 9·3 = 33
Cubos de lado 7: 4 cubos en la sección inferior y, por cada uno de ellos, dos iguales en vertical, en total 4·2 = 23
Cubos de lado 8 : evidentemente: uno
Total: 13 + 23 + 33 + 43+ 53+ 63 + 73 + 83 = 1296
En la página señalada anteriormente puede verse la deducción de la fórmula:
Que da la fórmula general para calcular el número de cubos que se pueden contar en un cubo de lado n
