EJERCICIO 1.– Escribe todos los números enteros entre 1.000 y menores que 10.000 tales que el producto de sus cifras sea igual a 343.
Solución.
Como la factorización de 343 = 73 y los números buscados son de cuatro cifras, las únicas posibilidades son: 7771, 7717, 7177 y 1777
EJERCICIO 2.– ¿Cuántos números enteros hay entre 1.000 y 10.000 tales el producto de sus dígitos igual a 196 = 22·72
Solución: Serán números de cuatro cifras
Con un cuatro dos sietes y un uno, por ejemplo: 4771, hay 4!/2! = 12 números.
Con dos doses y dos sietes, por ejemplo: 2772, hay 4!/2! =12 números
En total 24
EJERCICIO 3.– Cuantos números hay comprendidos entre 1,000 y 10,000 tales el producto de sus dígitos igual a 36 = 22·32
Solución. Tienen que ser números de cuatro cifras. Como 36 = 22·32
Con dos doses y dos treses, por ejemplo: 2233, hay 4!/(2!·2!) =6
Con dos doses y un nueve y un uno, por ejemplo: 2291, 4!/2! = 12
Con un cuatro dos treses y un uno, por ejemplo: 4331, 4!/2! = 12
Con un cuatro un nueve y dos unos, por ejemplo: 4911, 4!/2! = 12
Con un seis, un dos, un tres y un uno, por ejemplo: 6231, 4! = 24
Con con dos seises y dos unos, por ejemplo: 6611 4!/(2!·2!) =6
En total 6+12+12+ 12 + 24 + 6 = 42
EJERCICIO 4.- Escribe todos comprendidos entre 1,000 y 10,000 tales que el producto de sus dígitos igual a 39
Solución: No hay ninguno, ya que 39 =3·13 y una de sus cifras tendría que ser 13 o un múltiplo suyo y 13 no es una cifra.
EJERCICIO 5.- Cuantos números comprendidos entre 1.000 y 10.000 tiene el producto de sus dígitos igual a 0
Solución: Debe tener un cero entre sus cifras
Contemos, en primer lugar, los que comienzan por uno y la cifra de las centenas es cero, del tipo 10ab. Entonces ab puede tomar cien valores (de 00 a 99).
Si comienza por uno y la cifra de las centenas, x, puede ser cualquier cifra significativa de 1 a 9 y de número 1xab, a, b deben ser cero es decir caben 19 posibilidades para ab, Por lo tanto para 1xab con x con nula habrá 19·9 = 171
Lo que hemos razonado para los que comienzan por uno lo podemos repetir para los que comienzan por 2, por 3, por 4… En total habrá:
9·271= 2439
Segunda solución: Entre 1.000 y 10.000 hay 9000 números de cuatro cifras. Los números de cuatro cifras que no tienen ceros entre sus cifras son los que se pueden formar con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 son VR 9,4 = 94 = 6561.
Luego los que tienen algún cero serán 9000 – 6561=2439
EJERCICIO 6.- Escribe todos comprendidos entre 1.000 y 10.000 tales que el producto de sus dígitos sea igual a 100 = 22·52
Solución: Estarán formados por las cifras 2255 o 4155,
Con las cifras 2255 habrá 4!/(2!·2!) = 6:
Que son 2255, 2525, 2552, 5252 5225, 5522
Con las cifras 4155 habrá 4!/(2!) = 12, que son:
4155, 4515, 4551, 1455, 1545, 1554, 5514, 5541, 5145, 5154, 5415, 5451
EJERCICIO 7.- Escribe todos comprendidos entre 1.000 y 10.000 tales el producto de sus dígitos igual a 180 = 22·32·5
Solución : Estarán formados por las cifras 4951, 4335, 2295 2635 o 6651,
4! + 4!/2! + 4!/2! + 4! + 4!/2! = 24 + 12 + 12 + 24 + 12 = 84
EJERCICIO 8.- Escribe todos comprendidos entre 1.000 y 10.000 tales el producto de sus dígitos igual a 3
Solución: 3111, 1311,1131, 1113
EJERCICIO 9.- Escribe todos comprendidos entre 1.000 y 10.000 tales que el producto de sus dígitos igual a 4 (y sean múltiplos de tres)
Solución : Estarán formados por las permutaciones de las cifras 4111 o 2211
EJERCICIO 10.- Escribe todos comprendidos entre 1,000 y 10,000 tales que el producto de sus dígitos igual a 8
Solución: Estarán formados por las permutaciones de las cifras:
8111, 4211 o 2221
