PROBLEMA 1: Calcula la relación entre el área de un triángulo equilátero de lado 3, y el área del triángulo inscrito en el mismo, como se observa en la figura
Respuesta 1: Es medio hexágono (ocupa tres rombos) Luego son tres triángulos de los 9 en los que hemos dividido el triángulo grande, por lo tanto, el triángulo coloreado es la tercera parte del mismo
Respuesta 2: Recordemos que la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
Lado del triángulo ABC es L = 3,
El lado de cada uno de los nueve triángulos equiláteros en los que se ha dividido el triángulo ABC es la unidad. Llegados aquí, podemos observar que el lado del triángulo PQR es dos veces la altura de los triángulos en que está dividido ABC , esto es l = PR =√3
Razón de semejanza será (√3)/3, por tanto la razón entre la áreas será: [(√3)/3]2 = 1/3
Nota: El lado del triángulo PQR, que mide √3, lo podíamos haber calcularlo a partir del triángulo rectángulo hipotenusa PR, y con catetos uno PP’=(√3)/3 y el otro P’R = 3/2 contenido en lado AB.
l =√[(3/2)2+(Ö3/2)2] ]= √[(9/4 + 3/4)] = √[12/4] = √3
PROBLEMA 2: Calcula la relación entre el área de un triángulo equilátero de lado 3, y el area del cuadrilátero PQRP’ inscrito en el mismo
Respuesta: (supongamos que L = 3) El triángulo ABC está dividido en 9 triángulos equiláteros de lado unidad. La parte complementaria al cuadrilátero PQRP’ está formada por
1.- El triángulo APP’, que ocupa una superficie igual a dos triángulos de lado unidad.
2.- El triángulo PCQ, que ocupa una superficie igual a dos triángulos de lado unidad.
3.- El triángulo QBR, que es un triángulo de lado 1.
En total cinco triángulos de equiláteros de lado unidad.
Luego el cuadrilátero PQRP’ ocupará cuatro triángulos de los 9 en los que hemos dividido el triángulo ABC, por lo tanto, el cuadrilátero coloreado PQRP ’son los cuatro novenos del triángulo grande ABC.
PROBLEMA 3: Calcula la relación entre el área de un triángulo equilátero de lado 4, y el área del triángulo inscrito en el mismo, según la figura siguiente
Respuesta:
Procedimiento 1.- El triángulo equilátero ABC tiene un lado L = 4.
Y está dividido en 16 triángulos equiláteros de lado unidad.
Lado (ABC) = 4
El lado de PQR lo obtenemos a partir de triángulo rectángulo PP’R, utilizando el teorema de Pitágoras:
Lado (PQR ) =√[(5/2)2+(Ö3/2)]2] =√[28/4]= √7
Razón de semejanza entre los triángulos PQR y ABC es √7/4 y razón entre las áreas será 7/16
Procedimiento 2: Dividimos ABC en 16 triángulos de lado 1 .
Los tres triángulos APR, CQP y BQR son iguales. La unión de los triángulos APR y CQP nos dan 6 triángulos de lado 1, por tanto, la unión de los tres triángulos APR, CQP y BQR serán 9 triángulos de lado unidad. Como el triángulo ABC contiene 16 triángulos de lado unidad, el triángulo amarillo PQR tendrá una superficie de 16 – 9 = 7 triángulos unidad.
Luego la razón entre las áreas será 7 /16
