Carl Sagan comenzaba su libro Miles de Millones. Pensamientos de vida y muerte en la antesala del milenio (1997) con una explicación sobre la necesidad de manejar grandes números para expresar con ellos las medidas del universo.
Sagan manifestaba la vaguedad y la imprecisión que suponía hablar de miles de millones, o de miles de miles de millones para describir números grandes, cuando realmente lo se quería indicar era cuantos ceros seguían a la unidad cuando escribimos ese número. Los números grandes se expresan habitualmente en notación exponencial
En la naturaleza se dan muchas situaciones y muchos procesos en los que es necesario darles una notación exponencial, tal es el caso del crecimiento exponencial de una colonia de bacterias que duplica su número cada hora o la propagación de una noticia a través de las redes sociales. Se dice que el tamaño de una magnitud crece exponencialmente si en cada unidad de tiempo su tamaño se multiplica por una cantidad fija, llamada razón.
Por ejemplo, una población P de bacterias de se duplique cada hora seguirá la siguiente evolución:
| POBLACIÓN | |||||||
| Inicial | 1ª Hora | 2ª Hora | 3ª Hora | … | 10ª Hora | … | Hora enésima |
| P | 2·P | 4·P = 22·P | 8·P = 23·P | … | 1024·P = 210·P | … | 2n·P |
El comportamiento del crecimiento exponencial se pone de manifiesto haciendo dobleces sucesivas en un papel. Doblaremos un papel por la mitad, luego ese papel dobldo otra vez por la mitad y seguimos indefinidamente ese proceso imaginario (Porque en la realidad ¿cuántas dobleces sucesivas se pueden hacer en un folio?)
Sabemos que un papel tiene aproximadamente un grosor de 0,1 mm. Si se hace una dobles el grosor será 0,2 mm, algo más de un centímetro. Si seguimos el proceso, con 13 dobles 0,1 · 213 = 819,2 mm = 0,8192 m, que se acerca al metro, pero en unos pocos pasos más, cuando hacemos (supuestamente) 42 dobleces alcanzamos un grosor de 0,1 mm · 213 = 439.804 Km, que más distancia que de la distancia de la Tierra a la Luna.
Tras los inocentes porcentajes también se esconde un crecimiento exponencial. Para ello nos plantemos una pregunta ¿Qué significa que el consumo de Energía Eléctrica aumenta en un país cada año el 7 % ?
Pues significa que si un año se consumen N KW de energía, al año siguiente se consumirán: (1 + 0,07) · N KW de energía. Lo que quiere decir que cada año se multiplica el consumo por una cantidad fija que es 1,07
En diez años, se habrá multiplicado el consumo diez veces poresa cantidad y el consumo será 1,0710· N = 1,97·N ≈ 2· N, es decir, que cada diez años, con un crecimiento anual de la demanda de energía del 7%, se duplica el consumo.
Puede calcularse que, con un crecimiento de la demanda del 7 %, el consumo en un siglo se multiplicará por mil.
