El matemático francés Blas Pascal (1623-1662) diseñó y construyó en 1642 la primera calculadora mecánica capaz realizar sumas y diferencias, conocida como la Pascalina.
Pascal se ocupó esta tarea para facilitar el trabajo de su padre, que acababa de ser nombrado superintendente de la Alta Normandía por el cardenal Richelieu (1585-1642) y que debía ocuparse de los impuestos de esta provincia.
La Pascalina permitía sumar y restar dos números de manera directa, tenía el tamaño de una caja de zapatos y en su interior, se disponían unas ruedas dentadas y en cada una de ellas se representaban diez cifras de nuestro sistema de numeración. Sobre cada rueda dentada había escritas dos series de números, del 0 al 9 arriba y del 9 al 0 abajo, estando superpuestos los complementarios al 9 (El 1 frente al 8, 3 frente el 6, el 4 frente al 5, etc). La Pascalina tenía ocho ruedas (seis ruedas para representar los números enteros y otras dos para los decimales. Las ventanas corresponden, de derecha a izquierda, sucesivamente, a las unidades, decenas, etc.
Con lo que se podían obtener números entre 0,01 y 999.999,99. Las ruedas estaban conectadas entre sí formando una cadena de transmisión, de modo que, cuando una rueda realizaba un giro completo desde el cero (diez pasos) alrededor de su eje, hacía avanzar un punto a la rueda siguiente. Este sencillo mecanismo, permitía para añadir la cifra “llevada” en la suma (diez unidades una decena, diez decenas una centena, etc).
Girando una rueda se podía colocar en posición la cifra deseada, que aparecía en una ventana, comenzando por la cifra de las unidades. Cuando una rueda pasaba por el 0, la rueda a su izquierda giraba una unidad. Podemos hacer que aparezca la serie de cero a 9 o de 9 a cero.
A continuación, mostramos los fundamentos matemáticos de como realizaba la suma y la resta con dos ejemplos.
PARA HACER LA SUMA 87 + 64 = 151
Se comienza poniendo todas las ruedas a cero. Se coloca el 7 en la rueda de las unidades, después el 8 en las decenas, con lo cual veremos el número 87.
Después (para añadir 64), giramos la rueda de las unidades 4 dientes y esta rueda sobrepasa el 0 (puesto que estaba en el 7) y la cifra que aparece es 1 en la rueda de las unidades. Pero, como ha pasado por el cero, la rueda de las decenas, por el sistema de engranajes, avanzará un lugar y de colocará en el 9.
Después giramos la rueda de las decenas 6 dientes. Y como estaba en el 9 alcanzará la cifra 5, que quedará en la cifra de las decenas, pero como ha pasado por el cero la rueda de las centenas (que estaba puesta a cero) habrá avanzado una unidad.
El resultado final es que queda 1 en las centenas, 5 en las decenas y 1 en las unidades, es decir, 151.
EL CÁLCULO DE RESTAS CON LA PASCALINA: se reduce a saber sumar y a conocer las propiedades del complemento al 9. Las propiedades son las siguientes:
Primera: El complemento al 9 de una cifra, a, es 9 – a
Segunda: En una máquina de n cifras el complemento a 9 de un número A se define como: CP(A) = 10n – 1 – A.
Ejemplo 1: (Para números de dos cifras) Si n = 2, CP(43) = (102 – 1) – 43 = 99 – 43= 56.
Ejemplo 2: (Para números de tres cifras) Si n = 3, CP(347) = (103 – 1) – 347 = 999 – 347 = 652
Observación: el Complementario a 9 de un número de obtiene de forma automática haciendo el complementario a 9 de todas sus cifras CP(359407) = 640592
PROPOSICIÓN: El complementario a 9 permite transformar la diferencia de dos números en suma ya que CP (A – B) = CP(A) + B.
En efecto: CP (A – B) = 10n -1 – (A – B) = (10n -1 – A) + B = CP(A) + B;
PROPOSICIÓN IMPORTANTE: A – B = CP [CP(A) + B]
En efecto: CP [CP(A)] = A y, por la proposición anterior, se cumple que CP(A-B) = [CP(A) + B],
tomando complementarios al 9 en ambos miembros resulta: (A – B) = CP [CP(A) + B].
Luego el complemento a 9 de la diferencia de dos números es igual a la suma del complemento a 9 del primer número más el segundo número.
Ejemplos: Las diferencias con la Pascalina para números de tres cifras con, n = 3 :
356 – 265 = CP [CP(356) + 265] = CP [643 + 265] = CP (908) = 091
574 – 285 = CP [CP(574) + 285] = CP [425 + 285] = CP (710) = 289
Ejercicio: Con una Pascalina de tres ruedas, para números de tres cifras (para n = 3) ¿se puede hacer la diferencia 235 -789?
