GREGORY CHAITIN: COMPRENSIÓN ES COMPRESIÓN

Comprender es percibir el significado de algo. María Moliner

Hay muchas formas de comprender.  Comprendemos una situación cuando unificamos en nuestra mente distintos hechos o ideas, comprendemos un hecho o enunciado cuando lo hemos deducido de unas premisas. Comprendemos una idea cuando la situamos en un contexto adecuado o la relacionamos con algo universal conocido. Por el contrario, no comprendemos algo cuando al observarlo no distinguimos ninguna  norma que relaciones sus elementos o no cuadra con nuestros cocimientos previos y parece estar hecho al azar.

El matemático Gregory Chaitin (n. 1947) relaciona el acto mental de la comprensión con el concepto de compresión de datos, aparecido en el campo de la informática.

La compresión informática consiste en reducir el tamaño de un archivo digital mediante una disminución en la cantidad de datos necesarios para representarlo, lo que significa que un archivo informático, tras la compresión, ocupará menos espacio en el disco duro. En resumen, Chaitin dice que, en última instancia, comprendemos algo (en cierta medida) cuando la imagen de un objeto real que nos formamos en nuestra mente ocupa menos bits que él.

La compresión tiene por objeto reducir el tamaño de la información de un mensaje, intentando que  la reducción de su tamaño no afecte al contenido.  No obstante,  la compresión de datos puede afectar a la calidad de la información y se suele  distinguir entre compresión sin pérdidas reales, es decir, transmitiendo toda la complejidad  del mensaje, eliminando únicamente la información redundante, y compresión con pérdidas en la que se elimina cierta cantidad de información básica, por lo que el mensaje se reconstruirá con errores perceptibles, pero tolerables.

Los ficheros Zip y Winrar son ficheros comprimidos sin pérdidas y los  JPEG o los obtenidos por compresión fractal para imágenes don compresores con pérdidas.

El siguiente ejemplo es un proceso de compresión de una sucesión alfabética, en la que detectamos pautas y repeticiones que nos permiten expresar la sucesión

AAAAAAAAAAAAAAABBBAADEEEEEECCCCCCCBBB

como  15A3B2AD6E7C3B, donde se han sustituido las repeticiones consecutivas de una letra por el número de veces que se repite.

Chaitin describe el proceso mental  que siguió y las ideas que le sirvieron de inspiración para identificar el concepto de compresión de datos con el de comprensión mental. Partió en primer lugar del espíritu del Programa de Hilbert, propuesto, a comienzos  de la década de 1920, por el matemático alemán   D. Hilbert (1862-1943) que pretendía realizar una formalización completa de las matemáticas en un sistema deductivo a partir de una formulación completa de todos sus axiomas. Hilbert propuso, de alguna manera, la tarea de elaborar una teoría del todo para las matemáticas que fuera capaz de comprimir todos los saberes matemáticos en un conjunto de axiomas y en unas de reglas lógicas de deducción.

Hilbert estaba convencido de que debía existir para las matemáticas un sistema  axiomático consistente, es decir, en el que no se produjeran enunciados contradictorios.

Además, Hilbert pensaba que, con un conjunto finito de axiomas cuidadosamente seleccionado, se podría deducir cualquier enunciado matemático que se deseara formular y añadió a todo esto un requisito metodológico y fue que en las demostraciones  debían utilizarse únicamente métodos finitos, es decir, que el concepto de infinito debía excluirse de cualquier demostración y que, por lo tanto, métodos como el de  inducción matemática no podían usarse. Igualmente, la consistencia de los axiomas debía ser verificable algorítmicamente en un número finito de pasos. En suma, debía existir “un procedimiento mecánico” (un algoritmo) que decidiese si una demostración se atenía a las reglas o no. Hilbert no aclaró nunca qué entendía por procedimiento mecánico.

Pero el sueño de Hilbert se quebró, en 1931 cuando el matemático Kurt Gödel (1906-1978) demostró cualquier sistema axiomático de una teoría matemática que contuviera la aritmética elemental (axiomas de Peano) si los axiomas no eran contradictorios, entonces existían enunciados que no podían probarse ni refutarse a partir de ellos. Este resultado se conoce como teorema de incompletitud de Gödel, aludiendo a que no se pueden demostrar todos los enunciados posibles.

El programa de Hilbert fue un fracaso, porque fue un proyecto imposible de realizar,   pero en otro sentido, fue un gran éxito, porque el formalismo que se elaboró para intentar demostrar la teoría fue una de las grandes aportaciones del siglo XX,  para la programación informática, para el cálculo, para la lógica y para la computación.

La mayor fuente de inspiración de Chaitin surgió en 1936 cuando el matemático inglés Alan Turing (1912-1954) identificó el procedimiento mecánico de Hilbert con una máquina de un tipo que ahora llamamos Máquina de Turing y relacionó la incompletitud de Gödel  con la incomputabilidad.

Con la Máquina Universal de Turing que, a priori, podía ejecutar cualquier algoritmo matemático, Alan Turing probaba que no era posible mecanizar un método de razonamiento general y completo ya que había un algoritmo indecidible, que, por lo tanto, no era demostrable y era el problema de parada.

Chaitin recogió este resultado diciendo que la compresión de unos datos sería el programa que generara esos datos. El programa sería la teoría o sistema de axiomas que genera esos datos y, al mismo tiempo, la compresión de los mismos. Ya que un programa útil, en binario debe ser menor que los datos que genera al ejecutarse. Si para unos datos no existe programa capaz de  generar esos datos de menor tamaño ellos,  significa que  los datos no se pueden comprimir y, por tanto, poco se puede decir nada sobre ellos como no sea describirlos, por lo tanto tampoco son comprensibles.