Desde la antigüedad se ha conocido y admirado un instinto especial de las abejas que las hace vivir en sociedad, tener un reparto de funciones en la misma (abejas ventiladoras, nodrizas, cereras, guardianas, etc) y, asimismo, poseer una forma simétrica y especial de construir sus panales.
Las abejas recogen el néctar de las flores y construyen unos receptáculos para el almacenamiento de la miel y la crianza de las larvas, llamados panales, que están formados por de celdas hexagonales y contiguas una a la otra.
Pappus de Alejandría (siglo IV), en el prefacio de su obra titulada Sobre la sagacidad de las abejas, destacaba del talento de estos insectos en la construcción de sus panales. Primero observó que las celdas hexagonales hacían que las paredes de las celdas fueran contiguas y que no dejaba huecos entre una y otra, evitando que ninguna materia extraña pudiera penetrar por los intersticios y complicar el cuidado de las larvas, alterar el funcionamiento de la colmena o disminuir su producción de miel.
Las abejas, en su intento de construir celdas iguales con polígonos regulares que no dejaran huecos entre ellas, podrían haber optado únicamente por tres polígonos capaces por sí mismos de llenar exactamente el plano alrededor de un punto: el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular, en la forma que se muestra a continuación en la figura:
La prueba de que son los únicos polígonos regulares es clara:Se sabe que el ángulo interior de un polígono regular de n lados mide:
Para que podamos colocar alrededor de un punto un número entero, k, de ángulos (vértices de polígono), sin dejar huecos ni superponerlos se debe cumplir que:
La expresión anterior se puede transformar en (teniendo en cuenta que k ≥3 )
Es decir:
De donde se obtiene que n ≤ 6. Las únicas posibilidades para el número de lados del polígono son:
Primera: Que n = 3, triángulo equilátero, que en fórmula (1) da k = 6 (seis triángulos equiláteros alrededor del punto)
Segunda: Que n = 4 cuadrado, que en fórmula (1) da k = 4 (cuatro cuadrados alrededor de un punto).
Tercera: Que n = 5, pentágono regular, que en fórmula (1) da k = (10/3) ≈ 3,34 (tres pentágonos y pico alrededor de un punto, por consiguiente no es entero y no es válido).
Cuarta: Que n = 6 hexágono regular, que en fórmula (1) da k = 3 (tres hexágono regulares alrededor de un punto)
Pappus siguió elogiando el ingenio de las abejas, porque consiguieron, con esa elección en el diseño de sus panales, utilizar la menor cantidad de cera para construir las celdas. Es decir, diseño más económico y óptimo para conseguir sus objetivos.
Como las celdas serán prismas, si éstos tienen a misma altura la cantidad de cera utilizada en su construcción dependerá del perímetro de la base y su capacidad de la superficie que encierren. En realidad las abejas resolvieron un problema de isoperímetro. Ya que, entre los polígonos regulares de perímetro fijo P, el polígono de más lados encierra mayor área y, por tanto, las celdas con forma de prisma construidas con ellos serán más espaciosas.
Si llamamos, respectivamente, A3, A4 y A6 a las áreas de un triángulo equilátero, de un cuadrado y un de un hexágono regular con el mismo perímetro P y expresamos sus áreas en función de perímetro se tiene que:
A3 = 0,0481· P 2
A4 = 0,0625 ·P 2
A6 = 0,0722· P 2
Donde, evidentemente, A3 < A4 < A6. Por lo que el hexágono encierra la mayor área para el mismo perímetro P . Y las abejas, sabiamente, eligieron el hexágono para formar sus panales.
Nota: Las áreas en función de perímetro se pueden calcular con la fórmula general:
