Los filósofos presocráticos deseaban entender la esencia y el porqué de las cosas y muchos propusieron su propia explicación de la realidad, es decir, su teoría (del griego de θεωρός (mirar, examinr) . Parménides concluyó que la realidad era el Ser, que consideraba único e invariable. Por el contrario, Heráclito percibía la realidad como un continuo cambio: nadie se baña dos veces en el mismo río.
Aristóteles estaba fascinado por el descubrimiento que se había producido en la Escuela Pitagórica en el siglo V a.C. Demostraron que no existía un segmento, por pequeño que fuera, que, tomado como unidad, estuviera contenido un número exacto de veces tanto en el lado como en la diagonal de un cuadrado. Esto es, probaron que el lado y la diagonal del cuadrado eran magnitudes inconmensurables. El descubrimiento era sorprendente, en primer lugar, porque lo habían encontrado por medio del puro razonamiento y no a través de la experiencia, ya que era un resultado que no se podía llegar a realizar físicamente y cuestionaba en lo más profundo la teoría atomista de Demócrito y demostraba la imposibilidad práctica una unidad para medir la diagonal y el lado. En segundo lugrar imposibilitaba la aritmetización de la geometría, ya que podía no existir relación una exacta entre dos magnitudes. Y, lo que más nos interesa, para lo que queremos desarrollar: la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado suponía aceptar la infinita divisibilidad de un segmento, según se había demostrado en la Escuela Pitagórica con el método antanairesis, lo que lo llevaría a las aporías de Zenón y a relacionar el infinito con la división infinita y con el continuo. En la Metafísica, al hablar del descubrimiento pitagórico Aristóteles dice:
“Todos comienzan, de hecho, maravillándose de que una cosa pueda ser en un cierto modo, como los trucos de un malabarista, … Maravilloso resulta, ciertamente, que no exista algo pequeñísimo como unidad de medida común, pero, cuando se ha entendido, lo que realmente maravillaría a un matemático es que la diagonal fuese conmensurable con el lado”.
Para Aristóteles, el problema del infinito era eminentemente físico: “Parece que el movimiento es algo continuo y lo infinito aparece primero en lo continuo. Por esto ocurre que los que definen lo continuo a menudo necesitan el concepto de infinito”. No obstante, consideraba también al infinito como un tema propio de las matemáticas por dos motivos: porque la sucesión de los números naturales se puede a largar indefinidamente y porque un segmento continuo es divisible indefinidamente.
La sucesión creciente de números enteros naturales no tiene fin, porque, elegido un número natural por grande que sea, siempre es posible encontrar otro número mayor que él. En esta propiedad se basó Aristóteles para distinguir dos tipos de infinito, el infinito potencial y el infinito actual: En primer lugar, el infinito potencial, basado en la posibilidad de avanzar siempre un paso más allá, sin que podamos encontrar nunca un último elemento. La infinidad potencial era característica de nuestro modo normal (el del sentido común) de concebir al espacio como un volumen que crece indefinidamente y al tiempo, como segmento prolongable tanto como podamos imaginar. Y en segundo lugar el infinito actual, que considera que el conjunto infinito existe realmente. Aristóteles niega la posibilidad de un infinito con existencia actual real y presente, en el capítulo 5 del libro III de su Física, donde demuestra que no existe ningún un cuerpo físico infinito en acto, ya que ninguna magnitud sensible puede ser infinita, puesto que es imposible que sea superada toda cantidad determinada; pues si fuera posible sería algo más grande que el mundo. Y, siguió razonando, argumentando que, como no existe un infinito separado de un cuerpo sensible er imposible el infinito actual. Aunque los matemáticos, en ocasiones lo supusieran en sus trabajos.
Esta distinción le permitió a Aristóteles abordar el problema de la infinita divisibilidad de un segmento respondiéndose a la siguiente pregunta:
¿Se puede dividir un segmento continuo en un número de partes tan grande como se quiera solamente en el sentido potencial, o puede concebirse como un conjunto infinito en acto, siendo el segmento una colección infinita, real y presente de todos sus puntos?
Para responder a esta pregunta sobre la división del segmento rectilíneo, Aristóteles pasa a analizar qué es lo que se entiende por continuo y qué son las infinitas partes en las que se puede dividir el continuo en un proceso de división infinita como el utilizado para probar que el lado y la diagonal del cuadrado eran dos magnitudes inconmensurables. Proporcionado una visión casi topológica de continuo y destacando unas características del mismo:
Para Aristóteles continuo es más que contiguo, se emplea el término continuo cuando el límite de dos cosas que se tocan y resulta ser el mismo. De manera que lo continuo se dará en aquellas cosas en las cuales se produce por contacto una unidad natural.
En el libro V de la Física, cuando estudia el movimiento dice que una cosa es continua con otra cuando sus límites que se tocan entre sí y llegan a ser uno y lo mismo y, como indica la palabra continuo: se contienen entre sí (doble contenido). Según esta definición, resulta evidente que la continuidad pertenece a aquellos objetos, entidades, sustancias en los que, por su propia naturaleza, llega a haber una unidad por contacto y manifiesta Aristóteles que, de alguna forma el continuo es Uno.
El continuo es por sí todo lo que es Uno, pero no por contacto, puesto que (dice Aristóteles) si colocamos unos maderos tocándose unos a otros, no diremos que son Uno. El continuo es Uno por naturaleza y no por contacto ni atadura y tiene en sí mismo la causa de ser continuo. Por lo tanto, Uno significa unas veces lo que es continuo o un todo; otras y otras aquello cuyo significado es uno o aquello cuya interpretación intelectual es una, es decir, indivisible.
Luego el punto, que es lo que intentamos encontrar en la división infinita de un segmento, no es lo mismo que la unidad; pues los puntos pueden tocarse, pero las unidades no, aunque sí seguirse; y entre los puntos puede haber algo intermedio, pero entre las unidades no. Estas sutilezas serán recogidas por Euclides en sus Elementos. En la Definición de Tercera del libro primero de los Elementos dice los extremos de una recta son puntos, para decir que en la cuarta que una recta es la que yace por igual respeto de los puntos que están en ella. (cuando la recta no está formada por puntos).
En su Física distingue diferentes jerarquías en la posición relativa de objetos: estar en un único lugar (estar juntos); estar separados (estar en distintos lugares); estar entre los contrarios; estar en sucesión (cuando no hay nada intermedio de la misma clase entre una cosa y otra), estar en contigüidad (cuando hay sucesión y contacto), ser continuo (los extremos de dos cosas son uno y lo mismo).
Asimismo define los conceptos de Entre o intermedio (metaxý) como aquello a lo que una cosa llega primero cuando cambia por naturaleza antes de llegar a su extremo, si cambia por naturaleza de modo continuo. Estar entre supone al menos tres cosas, pues los extremos de un cambio son contrarios, y algo se mueve de modo continuo (synechôs) cuando no deja ningún intervalo o el más pequeño intervalo en la cosa, no en el tiempo durante el cual se mueve sino en la cosa en la cual se mueve (p.188). Es imposible que un continuo (línea, tiempo, movimiento) esté constituido por indivisibles. Tampoco un punto (o ahora, o movimiento puntual) puede seguir en sucesión a otro.
En el comienzo del libro VI dice: Si la continuidad, el contacto y la sucesión son tales como los hemos definido antes, es decir, si decimos que son «continuas» aquellas cosas cuyos extremos son uno, «en contacto» cuando sus extremos están juntos, y «en sucesión» cuando no hay ninguna cosa del mismo género entre ellas—, entonces es imposible que algo continuo esté hecho de indivisibles, como, por ejemplo, que una línea esté hecha de puntos, si damos por supuesto que la línea es un continuo y el punto un indivisible. Porque ni los extremos de los puntos pueden ser uno, ya que en un indivisible no puede haber un extremo que sea distinto de otra parte, ni tampoco pueden estar juntos, pues lo que no tiene partes no puede tener extremos, ya que un extremo es distinto de aquello de lo cual es extremo
Así, cuando un cuerpo homogéneo es continuo, sus partes están potencialmente en un lugar; pero cuando esas partes están separadas, aunque en contacto, como en un montón, lo están actualmente.
