Dejando de lado el problema de lo que se ha considerado número a lo largo de la historia y de la aceptación de lo que hoy consideramos por tal, es una realidad que las sucesivas ampliaciones del conjunto de los números despertaron recelos entre los matemáticos. Los números negativos carecían del significado físico que tenían los positivos, pero las reglas de las operaciones con números negativos se venían usando desde el siglo IX y daban resultados correctos.
La potencia del Algebra fue reconocida a partir de las contribuciones de Descartes y Fermat. Descartes mostró sus reservas ante los números negativos. Pero parece que a partir de que J. Hude (1633-1704) usara coeficientes para representar tanto números positivos como negativos, la mayoría de los matemáticos los aceptaron.
Los sucesores de Descartes y Fermat introdujeron los números negativos en las coordenadas y los ejes coordenados con números positivos y negativos se convirtieron en una herramienta clave tanto para el Análisis como para la Geometría. Esta postura fue criticada pos Th. Hobbes (1588-1679) que decía que los algebristas habían confundido el Álgebra con la Geometría y en ésta no existían magnitudes negativas.
Otra innovación que dio impulso a la implantación del lenguaje algebraico fue que las fórmulas algebraicas fueron capaces de representar funciones en matemáticas y trayectorias en física. Galileo había descrito el movimiento mediante fórmulas (diagramas espacio-tiempo, trayectorias, etc.). Esta aplicación proporcionó al Álgebra y a los matemáticos una gran potencia operativa y se utilizó ampliamente en la Geometría y en la Física.
Los matemáticos vieron tantas ventajas en los métodos algebraicos que los aceptaron masivamente, aunque, inicialmente, hubo algunas críticas y titubeos, ya que consideraban que el Álgebra y el Análisis eran grandes edificios con las entradas mal iluminadas. Euler acabó con los reparos en su libro influyente titulado Introducción al análisis infinitesimal (1748) en el que alababa los métodos algebraicos y los consideraba muy superiores a los métodos geométricos de los griegos. Se puede decir que en 1750 la resistencia a usar el Álgebra por parte de algunos matemáticos había sido vencida, aunque el edificio siguiera con la entrada mal iluminada.
La Geometría estaba bien fundamentada, mientras que las bases lógicas de los sistemas numéricos y del Álgebra carecían de fundamentación. ¿Por qué se aceptó el Álgebra como método fiable si sus fundamentos eran más que dudosos? Hay varios motivos, entre otros:
a) Las operaciones con letras tenían propiedades parecidas a las de los números naturales y las propiedades de las operaciones se ampliaban a otros números con el apoyo del rigor lógico de la Geometría o con la comprobación de que el resultado se ajustaba a la realidad. Por ejemplo, los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo y tercer grado se justificaban desde la Geometría, aunque los métodos de la resolución de la cuártica no se podían justificar desde la Geometría (la geometría era tridimensional), eran válidos los resultados de las operaciones.
b) El Álgebra no era considerada una rama independiente de las matemáticas, sino un método auxiliar de carácter lógico útil para resolver problemas geométricos. G. Cardano (1501-1576) la llamó Ars Magna y F. Vieta (1540-1603) introducción al arte analítico. No obstante, al final del siglo XVII, el Álgebra se consideraba una rama de las matemáticas, sin embargo, no se acometió el problema de la fundamentación. Seguramente por la enorme complejidad que tenía la axiomatización de una ciencia que se había infiltrado en la resolución de los más variados problemas de las Ciencias Físicas y de la propia geometría y que tenía una posibilidad de fundamentación menos intuitiva y accesible que la Geometría
Berkeley (1628-1753) se refirió en El Analista, sobre todo refiriéndose al cálculo con infinitésimos (1734), con estas palabras: No puede hablarse de ciencia cuando se procede a ciegas y se llega a la verdad no sabemos cómo ni por qué medios.
El problema del Álgebra es que utilizaba letras para representar todo tipo de números, con las mismas propiedades que tenían los números naturales o los racionales. Los resultados eran válidos cuando se sustituían por números racionales o complejos, pero el significado de los números complejos no se comprendía, ya que no representaba la medida de ninguna magnitud, ni estaban justificados lógicamente, pero las operaciones con ellos funcionaban satisfactoriamente desde R. Bombelli (1526-1572). Era como si el Álgebra de las expresiones literales tuviera una lógica interna que justificara la validez de sus resultados.
En la década de 1830 una serie de matemáticos investigaron el problema de la validez de las operaciones algebraicas. G. Peacock (1791-1858) distinguió entre Álgebra Aritmética y Álgebra Simbólica. En el Álgebra Aritmética los símbolos representaban números enteros positivos y sólo las operaciones que daban números positivos eran permisibles. En el Algebra Simbólica se adoptaban las reglas de la Aritmética, pero se elimina la restricción de que los resultados sean enteros positivos. Los resultados del Álgebra Aritmética eran válidos en el Algebra Simbólica. Es lo que Peacock llamó Principio de Permanencia de formas equivalentes, en la que se ligaban las propiedades de las operaciones entre los distintos conjuntos a las propiedades de las operaciones de los números naturales. Estableciendo un paralelismo entre el Álgebra y la Aritmética.
Finalmente, aíslaron el concepto de Ley de Composición con unas propiedades y se elabora el Álgebra como una ciencia deductiva y los símbolos para los que se definen las operaciones no tienen otro sentido que el que le confieren sus leyes (asociativa conmutativa. Rompiendo con la idea del Principio de Permanencia que imponía que las distintas clases de números, (elementos) habían de tener las mismas propiedades que los números enteros. Esta ruptura la provocó la aparición de los cuaterniones de Hamillton, que estos hipernúmeros no poseían la propiedad conmutativa para la multiplicación. Por lo tanto, falla el principio de permanencia porque los cuaterniones no tenían la propiedad conmutativa de los números reales.
La conclusión fue que no hay una sola Álgebra y que el Álgebra que procede de los números naturales era una de ellas y aparecían otras Algebras como el Álgebra de matrices, Algebra de Boole, Algebras de Lie, Algebra Tensorial, que enriquecieron el mundo de las matemáticas.
En palabras de Morris Kline, Hay que alegrarse de que los matemáticos fueran tan crédulos, incluso ingenuos, antes que escrupulosos con la lógica. Porque la libre creación debe preceder a formalización y a la fundamentación lógica
