Platón (427-347 a. de C.) fue uno de los filósofos griegos más relacionados con las matemáticas, el célebre epígrafe del frontispicio de su Academia: No entre aquí el que no sepa Geometría era un emblema y el slogan del pensamiento y del espíritu platónicos. La frase expresa, de forma resumida, el programa de estudio de sus discípulos en esa institución. El contenido del sistema pedagógico que se impartía en la Academia está recogido en numerosos pasajes del libro VII de la República.
El programa matemático de la Academia constaba de las cuatro materias de las matemáticas conocidas en la matemática griega: Aritmética, Geometría, Astronomía, Música. Estas disciplinas constituían la propedéutica necesaria, los conocimientos básicos previos precisos, para abordar el estudio de la ciencia superior que era la Dialéctica. Esas cuatro materias se mantendrían en la enseñanza de las universidades medievales formando lo que se denominó Cuadrivium.
El contenido de estas materias y la finalidad de su estudio puede estar inspirado en la obra matemática y literaria del pitagórico Arquitas de Tarento (430-360 a. C.). Platón conoció a Arquitas en sus viajes a la Magna Grecia, donde Arquitas era un destacado y afamado matemático que había resuelto el Problema de Delos de la duplicación del cubo. Arquitas había demostrado la imposibilidad de expresar los números irracionales mediante fracciones de números enteros y había estudiado las relaciones numéricas de la armonía musical. Además, fue un filósofo profundo que había desarrollado tesis de la metafísica pitagórica tales como que los números eran la esencia del mundo natural y del mundo moral.
Cuando Platón conoció a Arquitas, éste era gobernador de Tarento y era tan apreciado y y respetado por sus conciudadanos que votaron una ley para que Arquitas pudiera presentarse a gobernador siete veces seguidas. Seguramente sería su figura como político y su obra como filósofo lo que pudo inducir a Platón a mantener en la República la tesis de la conveniencia de que el gobernante fuera filósofo para que pudiera comprender y resolver las necesidades de la polis.
Platón fundó su Academia en Atenas en el año 387 a. de C. quizás con la finalidad dar una formación intelectual sólida ser la sólida a un grupo de personas para que estuvieran bien preparados para poder dirigir sabiamente la política de Atenas. En la Academia estaban recogidas las ideas de la Escuela Pitagórica que trataba de conseguir el Bien y la Verdad mediante el conocimiento matemático y filosófico.
Platón expuso en la República cómo debía ser la formación del gobernante-filósofo, que debe tener el objetivo de mejorar al ciudadano y a la polis y elaboró una teoría política basada en el conocimiento de las ideas eternas del Bien y de la Justicia. El conocimiento de estas ideas se alcanzaba, según la tradición pitagórica, mediante la práctica de una dialéctica, que era un entrenamiento continuo en un pensamiento abstracto, preciso y deductivo, vinculado a las ciencias matemáticas, las cuales eran para los pitagóricos el fundamento de todo el saber humano.
La Teoría platónica de las Ideas o de las Formas nació de la fusión muy elaborada de tres sistemas filosóficos el primero fue cosmovisión panmatemática pitagórica que mantenía que todo lo que existía en el mundo era esencialmente número, el segundo partió de la distinción radical de Parménides (540-470 a.C.) entre razón y sensación, entre verdad y apariencia o entre lo inteligible y lo sensible y el tercer sistema fue el de su maestro Sócrates y su búsqueda de definiciones precisas y de conceptos, que fueron verdaderos antecedentes de las ideas y de las formas platónicas.
También debemos de tener en cuenta que, desde la crisis de los inconmensurables, las ideas sobre el mundo y sobre las matemáticas atravesaban una crisis profunda y muchos filósofos trataron de fundamentar el saber matemático. Los Diálogos de Platón el Teeteto la República y el Timeo recogen las noticias de que la matemática griega se vio profundamente afectada por el descubrimiento las magnitudes inconmensurables para las cuales no se podía encontrar una unidad de medida común; el hallazgo lanzaba por los aires las bases de la fe de la teoría pitagórica de los números enteros, ya que la escuela tenía como principio vertebral de su filosofía que los números eran la esencia del universo. Con esta crisis se empezaron a depurar los conceptos de las matemáticas con el fin de rebatir las críticas de los lógicos y de los escépticos. Esta tarea desarrolló una dinámica dialéctica encaminada a definir ideas verdaderas dentro de la Aritmética en particular y de las matemáticas en general. El proceso dialéctico cristalizó en el método axiomático-deductivo lo que convirtió al modelo geométrico en el patrón del conocimiento verdadero.
Seguramente, este cometido de buscar los fundamentos de las matemáticas, tras el desasosiego que supuso la aparición de las magnitudes inconmensurables, está en la base de las razones que movieron a Platón a desarrollar la Teoría de las Ideas. Buscaba una Idea, seguramente inalcanzable, pero el progresivo acercamiento racional hacía que la Idea apareciera ante él cada vez más nítida.
Platón concebía un mundo en que se encontraban las Ideas o Formas con existencia real, independiente del pensamiento humano, en ese mundo estaban las ideas del Bien, de la Justicia, de la Belleza, del Amor, del Odio, los teoremas y las figuras geométricas e incluso, admitía Platon, existían ideas que nadie había pensado. Las Ideas tenían, en ese mundo, una existencia semejante a la que tenían en el mundo material un árbol o una roca. El mundo material era una copia imperfecta del mundo de las ideas.
Precisamente, es el mundo de las matemáticas y, más concretamente en geometría, donde mejor se ilustra la Teoría de las Ideas de Platón. Las figuras geométricas son Ideas; la idea de circunferencia, definida como una curva plana cuyos puntos están a igual distancia de un punto interior, llamado centro, nadie la ha visto en el mundo real, la circunferencia perfecta nunca la encontraremos entre los objetos sensibles. Lo que hallamos son figuras: un anillo o el contorno de la luna llena. son objetos materiales, que también llamamos circunferencias, aunque sólo sean aproximaciones a la circunferencia ideal. Por tanto, la circunferencia sólo existe en el mundo de las ideas, no en el mundo sensible. La idea de circunferencia sólo puede ser aprehendida mediante la razón, ya que sólo existe de forma perfecta, inmutable y eterna en el mundo de las ideas.
Por esa razón Platón destacaba una y otra vez en la República que la geometría no debía tener otra finalidad que el conocimiento en sí mismo. Así lo proclama en:
… La parte más elevada de esta ciencia nos conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. … La Geometría nos obliga a contemplar la esencia … Es una ciencia del conocimiento del ser, no de lo que está sujeto al cambio o desaparición. La Geometría conducirá al alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba. (Republica, 526e–527b)
La Teoría de las Ideas tiene su inspiración en las formas geométricas, pero el mundo de las ideas, como hemos apuntado anteriormente, no se limita a ellas. Del mismo modo que la Escuela Pitagórica había extendido las proporciones de la armonía musical a la armonía del universo entero y a las proporciones de la belleza, Platón extendió las formas de la geometría a todo el mundo de las ideas, alcanzando con su idealismo todo el campo de la Moral, a la idea de Justicia y a la idea de Bien, con extrapolaciones como la siguiente:
Así como la idea de circulo perfecto sólo está en el mundo de las ideas y en el mundo material no hay nada que sea exactamente circular, tampoco hallamos a nuestro alrededor algo que sea absolutamente justo o bueno. En la geometría se postula la definición de la forma ideal de circunferencia, con independencia del plato, de la rueda o de cualquier otro objeto circular de nuestro entorno, cuando únicamente guardan parecido con la forma ideal. Del mismo modo, para salvar la objetividad de las formas y en particular, por la necesidad social de mantener la objetividad en materia la Moral, es necesario postular y admitir la existencia de las formas ideales y perfectas de la Justicia y del Bien, situadas en el mundo de las ideas y separadas e independientes de las personas y de las instituciones de nuestro mundo que deben aproximarse a ellas.
Para Platón los conceptos de las Matemáticas eran independientes de la experiencia, los cuales se descubren, son eternos y apriorísticos. Las matemáticas confieren al ser humano el poder lógico y discursivo para poder salir, mediante la inteligencia, del fondo de caverna, donde se observan las sombras, que la luz nos transmite desde el mundo exterior, que es el mundo de las ideas. Con las matemáticas puede elevarse el alma y a la contemplación de las ideas más sublimes como el Bien o la Verdad.
Platón no fue matemático, pero puso en primer plano la importancia de las matemáticas, destacando la importancia que tenían como propedéutica de la filosofía, por esa razón las matemáticas fueron la base del programa de estudios en la Academia. Consideró que las matemáticas eran fundamentales en la educación de la juventud, en la formación de los gobernantes y para los estudios astronómicos y la comprensión del Cosmos. Realmente se convirtió en un mentor de matemáticos, saliendo de sus discípulos de la Academia buena parte de la producción matemática de su época.
Víctor Arenzana Hernández
