Es fácil encontrar dos números enteros positivos a y b tales que la suma de sus cuadrados sea un cuadrado. Pensemos en 3 y 4; la suma de sus cuadrados es: 32 + 42 = 9 +16 = 25, que es un cuadrado.
Pero ¿podríamos añadir a 3 y 4 otro número tal que la suma de los tres fuera un cuadrado? Evidentemente, la terna 3, 4, 5 no sirve, ya que la suma de sus cuadrados es 50, pero no resulta difícil descubrir que la suma de los cuadrados de la terna 3, 4, 12:
32 + 42 +122 = 9 +16 + 144 = 169, que es un cuadrado
Más laborioso resultaría descubrir el cuarto y el quinto elemento de la sucesión que daría:
3, 4, 12, 84, 3612…
Es interesante estudiar si existe un sexto, séptimo, octavo número, etc, tales que la suma de sus cuadrados sea un cuadrado. Cuestión que resolveremos en la siguiente proposición
PROPOSICIÓN.- Existe una sucesión de números enteros positivos a1, a2, a3,…, an,…. tal que para cualquier n se verifica que la suma de los cuadrados de sus términos es también un cuadrado, es decir:
Demostración: Procederemos por inducción:
Evidentemente se cumple si n = 1 y si a1, a2 son 3 y 4
Supongamos que existe una sucesión de n términos, a1, a2, a3, …, an tal que:
Demostraremos que existe un número an+1 tal que
Es decir que:
De otra forma que: K2 = (Q + an+1 ) (Q – an+1 ),
Haciendo: Q + an+1 = a y Q – an+1 = b (1) y, por tanto, K2= ab
Observemos que a y b tienen la misma paridad, ya que obtienen, respectivamente, de sumar y restar una misma cantidad a Q
an+1 = (a – b)/2
Esta forma de expresar an+1 , unida el hecho de que a y b tengan la misma paridad nos lleva a dos situaciones, en las que podemos determinar a n+1.
Primera situación: Que a y b sean pares, entonces, tomando a = 2m y b = 2 y, por tanto, K2 = 4m, se obtiene:
a n+1 = (a – b)/2 = (2m-2)/2 = m-1 =
= (como K2 = 4m )= (K2/4) -1 =
= (K2-4)/4
Segunda situación: Que a y b son impares, entonces tomando a = 2m+1 y b =1 , por tanto, K2= 2m +1
a n+1 = (a – b)/2 = (2m+1-1)/2 = m =
= (como K2 = 2m +1) = (K2-1)/2
Con estas fórmulas se puede fabricar una sucesión de números cuta suma de cuadrads es uncuadrado, tal y como se indica en la tabla siguiente y obtener:
3, 4, 12, 84, 3612, 6526884,….
