Las demostraciones visuales sin palabras como las que venimos presentando no son propiamente pruebas de teoremas con el rigor que se exigen en las matemáticas. Son visualizaciones, generalmente geométricas, que ilustran un resultado matemático, pero para demostrarlo rigurosamente es preciso partir de una axiomática aceptada como verdadera y seguir los pasos lógicos que nos conducen al resultado sin error (esta condición era de vital importancia para la construcción de una geometría sólida desde el punto de vista lógico ausente de falacias y contradicciones y que fuera referente fiable del conocimiento). No obstante, las demostraciones visuales tienen la particularidad de que presentan una verdad desnuda que señala el camino de hacia una demostración más rigurosa y de que estimulan el pensamiento matemático, además, de poseer un indudable valor pedagógico.
A continuación se exponen tres demostraciones visuales:
Primera: Es una de las demostraciones geométricas más conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras. Pero que parece a partir de 1945, cuando se tradujo la tablilla babilónica Plimpton 322 se demostró que el teorema de Pitágoras era bien conocido por los matemáticos babilonios mil años antes de Pitágoras, pero, seguramente, la primera prueba general podría deberse a Pitágoras y sería semejante a la que se muestra en esta figura.
Obsérvese que con cuatro triángulos rectángulos de catetos a, b y de hipotenusa c se pueden hacer estas dos configuraciones, que prueban que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos, es decir: a2 + b2 = c2.
Segunda : Una de las demostraciones geométricas que encierra un claro pensamiento aritmético algebraico es la del matemático indio Bhāskara II (1114–1185) en el libro Bijaganita, donde presenta una demostración sin palabras con la siguiente figura:
Para comprenderla: Sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo (señalado en gris) construye el cuadrado sobre la hipotenusa y lo divide en cuatro triángulos rectángulos iguales al original y un cuadrado cuyo lado es la diferencia de los catetos. Reordenando las 5 piezas anteriores se obtienen dos cuadrados de lados los catetos del triángulo inicial. El teorema de Pitágoras no necesita más explicaciones.
Expresado en forma algebraica:
c2 = 4(ab/2) + (a – b)2 = 2ab + a2 – 2ab + b2 = a2 + b2
es decir: c2 = a2 + b2
Tercera: En 1830 H. Perigal (1801-1898) realizó una sencilla demostración geométrica, sin palabras, del teorema de Pitágoras. Perigal fue un corredor de bolsa británico muy aficionado a las matemáticas. Su demostración era una construcción que describimos así:
Se trazan dos segmentos perpendiculares pasando por el centro del cuadrado construido sobre uno de los catetos, tales que uno de los segmentos sea paralelo a la hipotenusa del triángulo y otro perpendicular a la misma.
Las cuatro partes iguales en las que ha quedado dividido el cuadrado construido sobre el cateto se reordenan junto con el cuadrado construido sobre el otro cateto. Con esas cinco piezas se completa el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Nota: Observar que los dos segmentos trazados en el cuadrado construido sobre la hipotenusa, uno paralelo y otro perpendicular a la hipotenusa, son iguales entre si e iguales a la hipotenusa.
Bibliografía:
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm
GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid 2001.
http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes
Víctor Arenzana Hernández
