SUMA DE POTENCIAS DE DOS NÚMEROS ELEVADOS A MISMO EXPONENTE

PROBLEMA 1.-

Calcula a³ + b³   sabiendo que: a + b = 1 y a² + b² = 2

Solución:

Metodo 1:  Comenzaremos con el producto;

(a + b)·( a² + b²) = 2

a³ + ba² + ab² + b³   =   a³ + ab (a + b) + b³ =

= a³ + ab + b³ = 2 (1) .

Por otra parte:  1 = (a + b)² = a² + b² + 2ab = 2 + 2ab    ⇒ ab = -1/2

Sustituyendo el valor de ab en (1) :

a³ + ab + b³ = 2     ⇒  a³ – 1/2 + b³ = 2   ⇒  a³ + b³  = 5/2

Metodo 2:  Calculando a y b en el sistema:  a + b = 1  y  a² + b² = 2

b = 1- a       ⇒    a² + (1- a) ² = 2      ⇒     2a² – 2a -1 = 0     ⇒

⇒       a  = (1+√3)/2        b  = (1- √3)/2      ⇒

⇒     a³ + b³  = [(1+√3)³ + (1-√3)³ ]/8  =

[1+3√3+9 +3√3  +1- 3√3+9 -3√3]/8  =  20/8 = 5/2

PROBLEMA 2.-  Sabiendo que a + b = 1 y a² + b² = 2  y utilizando los resultados del ejercicio anterior, calcula a⁴ + b⁴  

Solución: Partiremos del desarrollo:

(a² + b²)² =  a⁴  + 2a²b² + b⁴      ⇒    (a² + b²)² =  a⁴  + b⁴  + 2a²b²   ⇒

⇒  4 = (a⁴  + b⁴ ) +  2a²b²  (1)

Como  ab = -1/2, entonces  2a²b² = ½, por tanto:

4 = (a⁴ + b⁴ ) +  1/2      ⇒  (a⁴  + b⁴ )  =  7/2

PROBLEMA 3.-  Sabiendo que a + b = 1  y a² + b² = 2  y utilizando los resultados de los ejercicios anteriores, calcula a⁵ + b⁵  

Solución: Partamos del producto:

(a² + b²) (a³+ b³) = a⁵ + a²b³ + a³b²+ b⁵ =  a⁵ + b⁵  + a²b²  (a+b)       ⇒

[Como (a² + b²) = 2,     (a³+ b³)  = 5/2,      (a+b) =1     y    ab = -1/2]

  ⇒     2 · 5/2 = a⁵  + b⁵  + 1/4      ⇒     5 = (a⁵  + b⁵ ) +  1/4

Por lo tanto:   (a⁵  + b⁵ )  =  19/4

PROBLEMA 4.- Sabiendo que a + b = 1 y  a² + b² = 2  y utilizando los resultados de los ejercicios anteriores, calcula a⁶ + b⁶  

Solución:

(a³ + b³)² = a⁶  + 2 a³b³ + b⁶      ⇒    (a³ + b³)² =  a⁶  + b⁶  + 2 a³b³ +   ⇒

Como ab = -1/2  y  a³ + b³ = 5/2   obtenemos:

⇒     25/4 = (a⁶ + b⁶ ) – ¼     ⇒    (a⁶  + b⁶ )  =  6

PROBLEMA 5.–  Calcula a⁷ + b⁷   sabiendo que a + b = 1 y a² + b² = 2

Solución:    (a⁴ + b⁴) (a³+ b³) =  a⁷  + b⁷   + a⁴b³ + a³b⁴ + b⁵      ⇒

⇒     7/2 · 5/2 =  a⁵  + b⁵  + a³b³  (a+b)   ⇒

⇒  35/4 = (a⁵  + b⁵ ) –  1/8

Por lo tanto:  (a⁵  + b⁵ )  =  71/8

PROBLEMA 6.-  Calcula a⁸ + b⁸   sabiendo que a + b = 1 y a² + b² = 2

Solución: Partimos de (a⁴ + b⁴)²  y

(a⁴ + b⁴)²  = a⁸  + b⁸ + 2 a⁴b⁴     ⇒      Como  ab = -1/2   y  (a⁴  + b⁴ )  =  7/2

(7/2)² = a⁸ + b⁸ + 2 (1/16)       ⇒     (a⁸  + b⁸ ) = (7/2)² -1/8     ⇒   (a⁸  + b⁸ )  =  97/8

PROBLEMA 7: Calcula aⁿ + bⁿ   sabiendo que a + b = 1 y a² + b² = 2  

Solución: Calculeremos  a y b en el sistema:  a + b = 1  y  a² + b² = 2

b = 1- a       ⇒    a² + (1- a) ² = 2      ⇒     2a² – 2a -1 = 0     ⇒

⇒       a = (1+√3) /2        b = (1- √3) /2      ⇒