En matemáticas y en la ciencia en general hay resultados, experimentos o teoremas famosos que llevan el nombre su autor. Este es el caso del teorema de Viviani para los triángulos equiláteros. Pero el teorema es una perla dentro de la ingente obra científica este gran físico y matemático florentino de la segunda mitad del siglo XVII. Vicenzo Viviani (1622-1703) fue un genio precoz, en 1639, a la edad de 17 años, comenzó a trabajar como ayudante de Galileo Galilei (1564-1642) en su arresto domiciliario en Arcetri con quien se mantuvo hasta su muerte. Precisamente, Viviani escribió la primera biografía del sabio pisano. En 1643 descubrió la presión atmosférica trabajando con otro discípulo de Galileo: E. Torricelli (1608 – 1647), el cual posteriormente inventó el termómetro de mercurio. Después pasó a trabajar con el inventor del barómetro, el físico y matemático italiano E. Torricelli (1608 – 1647) la hasta su temprana muerte en 1647. Viviani fue nombrado para ocupar el puesto de Torricelli en la Accademia dell Arte del Disegno de Florencia. En 1656 Gran Duque Fernando II de Toscana lo nombró matemático de la corte, y, en 1657 fue el fundador, de la Academia del Cimento una de las primeras y más importantes de las sociedades científicas de Europa. De 1655 a 1656. Viviani recopiló la primera edición de las obras completas de Galileo. Viviani reconstruyó además los escritos de Arquímedes y Euclides.
Teorema de Viviani.- La suma de las distancias desde un punto cualquiera, O, situado en el interior de un triángulo equilátero, a cada uno de sus lados es igual a la altura del mismo.
Demostración:
Sea la altura BB’ del triángulo equilátero ABC, O un punto interior cualquiera, y a, b y c las distancias a los tres lados del triángulo. Evidentemente:
Area (ABC) = Area (OAC) + Area (OBC)+ Area (OAB), es decir:
AC·BB’/2 = (AC ·a)/2 + (BC·c)/2 + (BA·b)/2
Como AC = BC = BA
AC·BB’/2 = (AC ·a)/2 + (AC·c)/2 + (AC·b)/2 ⇒ BB’ = a + c + b.
PROBLEMA 1.- Dado un triángulo equilátero ABC. Determinar un punto O, interior al triángulo, que de los lados del triángulo.
Respuesta. La distancia punto O a cada uno de los lados del triángulo equilátero debe ser la misma. Por lo tanto, O, será el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
PROBLEMA 2.- Dado un triángulo equilátero ABC. Construye un punto O, interior al triángulo tal que los triángulos ABO, OAC y OCB tengan la misma área.
Respuesta. La distancia punto O a cada uno de los lados del triángulo equilátero debe ser la misma. Por lo tanto, O, estará en las bisectrices será el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
PROBLEMAS 3.- Dado un z equilátero ABC. Determinar un punto O, interior al triángulo tal que los triángulos ABO, OAC y OCB estén en la relación 1:2:3
Respuesta: Es una aplicación directa del teorema de Viviani: Como las bases de los triángulos son los lados del triángulo equilátero de partida, las alturas de los triángulos respectivos estarán a en la relación 1:2:3. Por el teorema de Viviani, la suma de las alturas desde el vértice O de casa triángulo será igual a la altura h del triángulo equilátero.
La altura del triángulo de base AB será h/6 (1)
La altura del triángulo de base AC será 2h/6 = h/3 (2)
La altura del triángulo de base BC será 3h/6 = h/2 (3)
Por (1) O debe estar en una recta paralela AB [la recta PP’] a una distancia de h/6 y , por (2), el punto O debe pertenecer a una recta paralela a AC [la recta MM’] a una distancia de h/3, por tanto pertenece a la intersección de PP’ y MM’ que es el punto O, que por el teorema de Viviani dista h/2 de BC.
